Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fseqen Unicode version

Theorem fseqen 8429
 Description: A set that is equinumerous to its Cartesian product is equinumerous to the set of finite sequences on it. (This can be proven more easily using some choice but this proof avoids it.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fseqen
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem fseqen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . 2
2 n0 3794 . 2
3 eeanv 1988 . . 3
4 omex 8081 . . . . . . 7
5 simpl 457 . . . . . . . . 9
6 f1ofo 5828 . . . . . . . . 9
7 forn 5803 . . . . . . . . 9
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . 8
9 vex 3112 . . . . . . . . 9
109rnex 6734 . . . . . . . 8
118, 10syl6eqelr 2554 . . . . . . 7
12 xpexg 6602 . . . . . . 7
134, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6
14 simpr 461 . . . . . . 7
15 eqid 2457 . . . . . . 7
16 eqid 2457 . . . . . . 7
1711, 14, 5, 15, 16fseqenlem2 8427 . . . . . 6
18 f1domg 7555 . . . . . 6
1913, 17, 18sylc 60 . . . . 5
20 fseqdom 8428 . . . . . 6
2111, 20syl 16 . . . . 5
22 sbth 7657 . . . . 5
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . 4
2423exlimivv 1723 . . 3
253, 24sylbir 213 . 2
261, 2, 25syl2anb 479 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534 This theorem is referenced by:  infpwfien  8464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538
 Copyright terms: Public domain W3C validator