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Theorem fseqenlem2 8427
Description: Lemma for fseqen 8429. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fseqenlem.a
fseqenlem.b
fseqenlem.f
fseqenlem.g
fseqenlem.k
Assertion
Ref Expression
fseqenlem2
Distinct variable groups:   ,   , , ,   , ,   , , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem fseqenlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4335 . . . . 5
2 elmapi 7460 . . . . . . . . . 10
32ad2antll 728 . . . . . . . . 9
4 fdm 5740 . . . . . . . . 9
53, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 simprl 756 . . . . . . . 8
75, 6eqeltrd 2545 . . . . . . 7
85fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
98fveq1d 5873 . . . . . . . 8
10 fseqenlem.a . . . . . . . . . . . 12
11 fseqenlem.b . . . . . . . . . . . 12
12 fseqenlem.f . . . . . . . . . . . 12
13 fseqenlem.g . . . . . . . . . . . 12
1410, 11, 12, 13fseqenlem1 8426 . . . . . . . . . . 11
1514adantrr 716 . . . . . . . . . 10
16 f1f 5786 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 simprr 757 . . . . . . . . 9
1917, 18ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8
209, 19eqeltrd 2545 . . . . . . 7
21 opelxpi 5036 . . . . . . 7
227, 20, 21syl2anc 661 . . . . . 6
2322rexlimdvaa 2950 . . . . 5
241, 23syl5bi 217 . . . 4
2524imp 429 . . 3
26 fseqenlem.k . . 3
2725, 26fmptd 6055 . 2
28 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 funbrfv2b 5917 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
3130simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13
3230simprbda 623 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3632, 35eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . 14
37 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4038, 39fveq12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4137, 40opeq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 opex 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 26, 42fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14
4436, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4531, 44eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
4645fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
47 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
4847dmex 6733 . . . . . . . . . . . 12
49 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49op1st 6808 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
5251fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
5352cnveqd 5183 . . . . . . . 8
5445fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
5548, 49op2nd 6809 . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eq 2514 . . . . . . . 8
5753, 56fveq12d 5877 . . . . . . 7
58 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . 13
59 elmapi 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6662oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15
6864, 67jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
6968rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . . 13
7058, 69sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
7136, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10
7310, 11, 12, 13fseqenlem1 8426 . . . . . . . . . 10
7472, 73syldan 470 . . . . . . . . 9
75 f1f1orn 5832 . . . . . . . . 9
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8
7771simprd 463 . . . . . . . 8
78 f1ocnvfv1 6182 . . . . . . . 8
7976, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . 7
8057, 79eqtr2d 2499 . . . . . 6
8180ex 434 . . . . 5
8281alrimiv 1719 . . . 4
83 mo2icl 3278 . . . 4
8482, 83syl 16 . . 3
8584alrimiv 1719 . 2
86 dff12 5785 . 2
8727, 85, 86sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  E.wrex 2808   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c1st 6798   c2nd 6799  seqomcseqom 7131   cmap 7439
This theorem is referenced by:  fseqen  8429  pwfseqlem5  9062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-map 7441
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