Theorem fseqenlem2 8427

Description: Lemma for fseqen 8429. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fseqenlem.a
fseqenlem.b
fseqenlem.f
fseqenlem.g
fseqenlem.k

Assertion

Ref	Expression
fseqenlem2

Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,

Proof of Theorem fseqenlem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4335	. . . . 5
2		elmapi 7460	. . . . . . . . . 10
3	2	ad2antll 728	. . . . . . . . 9
4		fdm 5740	. . . . . . . . 9
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8
6		simprl 756	. . . . . . . 8
7	5, 6	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
8	5	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
9	8	fveq1d 5873	. . . . . . . 8
10		fseqenlem.a	. . . . . . . . . . . 12
11		fseqenlem.b	. . . . . . . . . . . 12
12		fseqenlem.f	. . . . . . . . . . . 12
13		fseqenlem.g	. . . . . . . . . . . 12
14	10, 11, 12, 13	fseqenlem1 8426	. . . . . . . . . . 11
15	14	adantrr 716	. . . . . . . . . 10
16		f1f 5786	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9
18		simprr 757	. . . . . . . . 9
19	17, 18	ffvelrnd 6032	. . . . . . . 8
20	9, 19	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
21		opelxpi 5036	. . . . . . 7
22	7, 20, 21	syl2anc 661	. . . . . 6
23	22	rexlimdvaa 2950	. . . . 5
24	1, 23	syl5bi 217	. . . 4
25	24	imp 429	. . 3
26		fseqenlem.k	. . 3
27	25, 26	fmptd 6055	. 2
28		ffun 5738	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		funbrfv2b 5917	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	27, 28, 29	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14
31	30	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13
32	30	simprbda 623	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	32, 35	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . 14
37		dmeq 5208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	38, 39	fveq12d 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	37, 40	opeq12d 4225	. . . . . . . . . . . . . . 15
42		opex 4716	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	41, 26, 42	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . 14
44	36, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
45	31, 44	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . 12
46	45	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
47		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	dmex 6733	. . . . . . . . . . . 12
49		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12
50	48, 49	op1st 6808	. . . . . . . . . . 11
51	46, 50	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
52	51	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
53	52	cnveqd 5183	. . . . . . . 8
54	45	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
55	48, 49	op2nd 6809	. . . . . . . . 9
56	54, 55	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
57	53, 56	fveq12d 5877	. . . . . . 7
58		eliun 4335	. . . . . . . . . . . . 13
59		elmapi 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	62, 63	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . 15
65		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	62	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	65, 66	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	64, 67	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	rexlimiva 2945	. . . . . . . . . . . . 13
70	58, 69	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12
71	36, 70	syl 16	. . . . . . . . . . 11
72	71	simpld 459	. . . . . . . . . 10
73	10, 11, 12, 13	fseqenlem1 8426	. . . . . . . . . 10
74	72, 73	syldan 470	. . . . . . . . 9
75		f1f1orn 5832	. . . . . . . . 9
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . 8
77	71	simprd 463	. . . . . . . 8
78		f1ocnvfv1 6182	. . . . . . . 8
79	76, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . 7
80	57, 79	eqtr2d 2499	. . . . . 6
81	80	ex 434	. . . . 5
82	81	alrimiv 1719	. . . 4
83		mo2icl 3278	. . . 4
84	82, 83	syl 16	. . 3
85	84	alrimiv 1719	. 2
86		dff12 5785	. 2
87	27, 85, 86	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  E.wrex 2808  cvv 3109  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  c1st 6798  c2nd 6799  seqomcseqom 7131  cmap 7439

This theorem is referenced by:  fseqen  8429  pwfseqlem5  9062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-map 7441