MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsn Unicode version

Theorem fsn 6069
Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
fsn.1
fsn.2
Assertion
Ref Expression
fsn

Proof of Theorem fsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelf 5752 . . . . . . . 8
2 elsn 4043 . . . . . . . . 9
3 elsn 4043 . . . . . . . . 9
42, 3anbi12i 697 . . . . . . . 8
51, 4sylib 196 . . . . . . 7
65ex 434 . . . . . 6
7 fsn.1 . . . . . . . . . 10
87snid 4057 . . . . . . . . 9
9 feu 5766 . . . . . . . . 9
108, 9mpan2 671 . . . . . . . 8
113anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11
12 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . . . 14
1312eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
1413pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . 12
15 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11
1711, 16bitr2i 250 . . . . . . . . . 10
1817eubii 2306 . . . . . . . . 9
19 fsn.2 . . . . . . . . . . . 12
2019eueq1 3272 . . . . . . . . . . 11
2120biantru 505 . . . . . . . . . 10
22 euanv 2355 . . . . . . . . . 10
2321, 22bitr4i 252 . . . . . . . . 9
24 df-reu 2814 . . . . . . . . 9
2518, 23, 243bitr4i 277 . . . . . . . 8
2610, 25sylibr 212 . . . . . . 7
27 opeq12 4219 . . . . . . . 8
2827eleq1d 2526 . . . . . . 7
2926, 28syl5ibrcom 222 . . . . . 6
306, 29impbid 191 . . . . 5
31 opex 4716 . . . . . . 7
3231elsnc 4053 . . . . . 6
337, 19opth2 4730 . . . . . 6
3432, 33bitr2i 250 . . . . 5
3530, 34syl6bb 261 . . . 4
3635alrimivv 1720 . . 3
37 frel 5739 . . . 4
387, 19relsnop 5112 . . . 4
39 eqrel 5097 . . . 4
4037, 38, 39sylancl 662 . . 3
4136, 40mpbird 232 . 2
427, 19f1osn 5858 . . . 4
43 f1oeq1 5812 . . . 4
4442, 43mpbiri 233 . . 3
45 f1of 5821 . . 3
4644, 45syl 16 . 2
4741, 46impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  E!wreu 2809   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  Relwrel 5009  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592
This theorem is referenced by:  fsng  6070  fsn2  6071  mapsn  7480  axlowdimlem7  24251  ginvsn  25351  fdc  30238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600
  Copyright terms: Public domain W3C validator