MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsplit Unicode version

Theorem fsplit 6905
Description: A function that can be used to feed a common value to both operands of an operation. Use as the second argument of a composition with the function of fpar 6904 in order to build compound functions such as . (Contributed by NM, 17-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
fsplit

Proof of Theorem fsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . 5
2 vex 3112 . . . . 5
31, 2brcnv 5190 . . . 4
41brres 5285 . . . . 5
5 19.42v 1775 . . . . . . 7
6 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
76, 6op1std 6810 . . . . . . . . . 10
87eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
98pm5.32ri 638 . . . . . . . 8
109exbii 1667 . . . . . . 7
11 fo1st 6820 . . . . . . . . . 10
12 fofn 5802 . . . . . . . . . 10
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9
14 fnbrfvb 5913 . . . . . . . . 9
1513, 2, 14mp2an 672 . . . . . . . 8
16 dfid2 4802 . . . . . . . . . 10
1716eleq2i 2535 . . . . . . . . 9
18 nfe1 1840 . . . . . . . . . . 11
191819.9 1893 . . . . . . . . . 10
20 elopab 4760 . . . . . . . . . 10
21 equid 1791 . . . . . . . . . . . 12
2221biantru 505 . . . . . . . . . . 11
2322exbii 1667 . . . . . . . . . 10
2419, 20, 233bitr4i 277 . . . . . . . . 9
2517, 24bitr2i 250 . . . . . . . 8
2615, 25anbi12i 697 . . . . . . 7
275, 10, 263bitr3ri 276 . . . . . 6
28 id 22 . . . . . . . . 9
2928, 28opeq12d 4225 . . . . . . . 8
3029eqeq2d 2471 . . . . . . 7
311, 30ceqsexv 3146 . . . . . 6
3227, 31bitri 249 . . . . 5
334, 32bitri 249 . . . 4
343, 33bitri 249 . . 3
3534opabbii 4516 . 2
36 relcnv 5379 . . 3
37 dfrel4v 5463 . . 3
3836, 37mpbi 208 . 2
39 mptv 4544 . 2
4035, 38, 393eqtr4i 2496 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   cid 4795  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   c1st 6798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601  df-1st 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator