Theorem fsum 13542

Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum.1
fsum.2
fsum.3
fsum.4
fsum.5

Assertion

Ref	Expression
fsum

Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,M,

Proof of Theorem fsum

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 13509	. 2
2		fvex 5881	. . 3
3		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
4		csbeq1 3437	. . . . . . . . . 10
5	3, 4	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . 9
6	5	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
7		fsum.4	. . . . . . . . . 10
8	7	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
9		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
10	9	nfel1 2635	. . . . . . . . . 10
11		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
12	11	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
13	10, 12	rspc 3204	. . . . . . . . 9
14	8, 13	mpan9 469	. . . . . . . 8
15		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
16	15	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . 10
17		csbco 3444	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	syl6eqr 2516	. . . . . . . . 9
19	18	cbvmptv 4543	. . . . . . . 8
20	6, 14, 19	summo 13539	. . . . . . 7
21		fsum.2	. . . . . . . . 9
22		fsum.3	. . . . . . . . . . . 12
23		f1of 5821	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . . 11
25		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
26		fex 6145	. . . . . . . . . . 11
27	24, 25, 26	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
28		nnuz 11145	. . . . . . . . . . . . 13
29	21, 28	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12
30		fsum.5	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		elfznn 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	30, 33	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	35	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	32, 34, 36	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	30, 37	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . 13
40		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	nfeq2 2636	. . . . . . . . . . . . . 14
42		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	42, 43	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . 14
45	41, 44	rspc 3204	. . . . . . . . . . . . 13
46	39, 45	mpan9 469	. . . . . . . . . . . 12
47	29, 46	seqfveq 12131	. . . . . . . . . . 11
48	22, 47	jca 532	. . . . . . . . . 10
49		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . 12
50		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	50	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53		fsum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54	52, 53	csbie 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	51, 54	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	mpteq2dv 4539	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	seqeq3d 12115	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
60	49, 59	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
61	60	spcegv 3195	. . . . . . . . . 10
62	27, 48, 61	sylc 60	. . . . . . . . 9
63		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . 13
64		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
66		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
68	65, 67	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
69	68	exbidv 1714	. . . . . . . . . 10
70	69	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
71	21, 62, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8
72	71	olcd 393	. . . . . . 7
73		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . . 14
74	73	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13
75	74	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . 12
76		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	76	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	exbidv 1714	. . . . . . . . . . . . 13
79	78	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . 12
80	75, 79	orbi12d 709	. . . . . . . . . . 11
81	80	moi2 3280	. . . . . . . . . 10
82	2, 81	mpanl1 680	. . . . . . . . 9
83	82	ancom2s 802	. . . . . . . 8
84	83	expr 615	. . . . . . 7
85	20, 72, 84	syl2anc 661	. . . . . 6
86	72, 80	syl5ibrcom 222	. . . . . 6
87	85, 86	impbid 191	. . . . 5
88	87	adantr 465	. . . 4
89	88	iota5 5576	. . 3
90	2, 89	mpan2 671	. 2
91	1, 90	syl5eq 2510	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  sumz  13544  fsumf1o  13545  fsumcl2lem  13553  fsumadd  13561  sumsn  13563  fsummulc2  13599  fsumconst  13605  fsumrelem  13621  gsumfsum  18484  sumsnd  31401  sumsnf  31570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509