MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum Unicode version

Theorem fsum 13542
Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1
fsum.2
fsum.3
fsum.4
fsum.5
Assertion
Ref Expression
fsum
Distinct variable groups:   ,   ,   , ,   , ,   , ,   , ,   ,M,

Proof of Theorem fsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sum 13509 . 2
2 fvex 5881 . . 3
3 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
4 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
53, 4ifbieq1d 3964 . . . . . . . . 9
65cbvmptv 4543 . . . . . . . 8
7 fsum.4 . . . . . . . . . 10
87ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
9 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
109nfel1 2635 . . . . . . . . . 10
11 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
1211eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
1310, 12rspc 3204 . . . . . . . . 9
148, 13mpan9 469 . . . . . . . 8
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
1615csbeq1d 3441 . . . . . . . . . 10
17 csbco 3444 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
1918cbvmptv 4543 . . . . . . . 8
206, 14, 19summo 13539 . . . . . . 7
21 fsum.2 . . . . . . . . 9
22 fsum.3 . . . . . . . . . . . 12
23 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
25 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
26 fex 6145 . . . . . . . . . . 11
2724, 25, 26sylancl 662 . . . . . . . . . 10
28 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . 13
2921, 28syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
30 fsum.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 elfznn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3430, 33syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3732, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
3830, 37eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
3938ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
40 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . . 14
42 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
4442, 43eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14
4541, 44rspc 3204 . . . . . . . . . . . . 13
4639, 45mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12
4729, 46seqfveq 12131 . . . . . . . . . . 11
4822, 47jca 532 . . . . . . . . . 10
49 f1oeq1 5812 . . . . . . . . . . . 12
50 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53 fsum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53csbie 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5551, 54syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756seqeq3d 12115 . . . . . . . . . . . . . 14
5857fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
5958eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
6049, 59anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
6160spcegv 3195 . . . . . . . . . 10
6227, 48, 61sylc 60 . . . . . . . . 9
63 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
64 f1oeq2 5813 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12
66 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
6766eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
6865, 67anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
6968exbidv 1714 . . . . . . . . . 10
7069rspcev 3210 . . . . . . . . 9
7121, 62, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8
7271olcd 393 . . . . . . 7
73 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
7473anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13
7574rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12
76 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14
7877exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . 13
7978rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12
8075, 79orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
8180moi2 3280 . . . . . . . . . 10
822, 81mpanl1 680 . . . . . . . . 9
8382ancom2s 802 . . . . . . . 8
8483expr 615 . . . . . . 7
8520, 72, 84syl2anc 661 . . . . . 6
8672, 80syl5ibrcom 222 . . . . . 6
8785, 86impbid 191 . . . . 5
8887adantr 465 . . . 4
8988iota5 5576 . . 3
902, 89mpan2 671 . 2
911, 90syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  sumz  13544  fsumf1o  13545  fsumcl2lem  13553  fsumadd  13561  sumsn  13563  fsummulc2  13599  fsumconst  13605  fsumrelem  13621  gsumfsum  18484  sumsnd  31401  sumsnf  31570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator