MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum0diag2 Unicode version

Theorem fsum0diag2 13598
Description: Two ways to express "the sum of A( , ) over the triangular region , , N." (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum0diag2.1
fsum0diag2.2
fsum0diag2.3
Assertion
Ref Expression
fsum0diag2
Distinct variable groups:   , , ,N   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsum0diag2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fznn0sub2 11810 . . . . . . 7
21ad2antll 728 . . . . . 6
3 fsum0diag2.3 . . . . . . . . . 10
43expr 615 . . . . . . . . 9
54ralrimiv 2869 . . . . . . . 8
6 fsum0diag2.1 . . . . . . . . . 10
76eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
87cbvralv 3084 . . . . . . . 8
95, 8sylibr 212 . . . . . . 7
109adantrr 716 . . . . . 6
11 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
1211nfel1 2635 . . . . . . 7
13 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
1413eleq1d 2526 . . . . . . 7
1512, 14rspc 3204 . . . . . 6
162, 10, 15sylc 60 . . . . 5
1716fsum0diag 13592 . . . 4
18 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
1918nfel1 2635 . . . . . . . . 9
20 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . 10
2120eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
2219, 21rspc 3204 . . . . . . . 8
239, 22mpan9 469 . . . . . . 7
24 csbeq1 3437 . . . . . . 7
2523, 24fsumrev2 13597 . . . . . 6
26 elfz3nn0 11801 . . . . . . . . . . . 12
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
28 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
30 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . 12
31 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
32 subcl 9842 . . . . . . . . . . . 12
3330, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
3427, 29, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
35 addid2 9784 . . . . . . . . . 10
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9
3736oveq1d 6311 . . . . . . . 8
3837csbeq1d 3441 . . . . . . 7
3938sumeq2dv 13525 . . . . . 6
4025, 39eqtrd 2498 . . . . 5
4140sumeq2dv 13525 . . . 4
42 elfz3nn0 11801 . . . . . . . . . 10
4342adantl 466 . . . . . . . . 9
44 addid2 9784 . . . . . . . . 9
4543, 30, 443syl 20 . . . . . . . 8
4645oveq1d 6311 . . . . . . 7
4746oveq2d 6312 . . . . . 6
4846oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
4948adantr 465 . . . . . . . 8
5042ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
51 elfzelz 11717 . . . . . . . . . 10
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
53 elfzelz 11717 . . . . . . . . . 10
5453adantl 466 . . . . . . . . 9
55 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
56 sub32 9876 . . . . . . . . . 10
5730, 55, 31, 56syl3an 1270 . . . . . . . . 9
5850, 52, 54, 57syl3anc 1228 . . . . . . . 8
5949, 58eqtrd 2498 . . . . . . 7
6059csbeq1d 3441 . . . . . 6
6147, 60sumeq12rdv 13529 . . . . 5
6261sumeq2dv 13525 . . . 4
6317, 41, 623eqtr4d 2508 . . 3
64 fzfid 12083 . . . . 5
65 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . 10
6665adantl 466 . . . . . . . . 9
67 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . 11
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10
6968adantr 465 . . . . . . . . 9
70 elfzuzb 11711 . . . . . . . . 9
7166, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . . . 8
72 elfzelz 11717 . . . . . . . . . 10
7372adantl 466 . . . . . . . . 9
74 elfzel2 11715 . . . . . . . . . 10
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
76 elfzelz 11717 . . . . . . . . . 10
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
78 fzsubel 11748 . . . . . . . . 9
7973, 75, 77, 73, 78syl22anc 1229 . . . . . . . 8
8071, 79mpbid 210 . . . . . . 7
81 subid 9861 . . . . . . . . 9
8273, 31, 813syl 20 . . . . . . . 8
8382oveq1d 6311 . . . . . . 7
8480, 83eleqtrd 2547 . . . . . 6
85 simpll 753 . . . . . . 7
86 fzss2 11752 . . . . . . . . 9
8768, 86syl 16 . . . . . . . 8
8887sselda 3503 . . . . . . 7
8985, 88, 9syl2anc 661 . . . . . 6
90 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
9190nfel1 2635 . . . . . . 7
92 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
9392eleq1d 2526 . . . . . . 7
9491, 93rspc 3204 . . . . . 6
9584, 89, 94sylc 60 . . . . 5
9664, 95fsumcl 13555 . . . 4
97 oveq2 6304 . . . . 5
98 oveq1 6303 . . . . . . 7
9998csbeq1d 3441 . . . . . 6
10099adantr 465 . . . . 5
10197, 100sumeq12dv 13528 . . . 4
10296, 101fsumrev2 13597 . . 3
10363, 102eqtr4d 2501 . 2
104 vex 3112 . . . . . 6
105104, 6csbie 3460 . . . . 5
106105a1i 11 . . . 4
107106sumeq2dv 13525 . . 3
108107sumeq2i 13521 . 2
109 ovex 6324 . . . . . 6
110 fsum0diag2.2 . . . . . 6
111109, 110csbie 3460 . . . . 5
112111a1i 11 . . . 4
113112sumeq2dv 13525 . . 3
114113sumeq2i 13521 . 2
115103, 108, 1143eqtr3g 2521 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  mertens  13695  plymullem1  22611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator