MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2d Unicode version

Theorem fsum2d 13586
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that ( ) is a function of . (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1
fsum2d.2
fsum2d.3
fsum2d.4
Assertion
Ref Expression
fsum2d
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   , ,   ,   , , ,

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 fsum2d.2 . . 3
3 sseq1 3524 . . . . . 6
4 sumeq1 13511 . . . . . . 7
5 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
65sumeq1d 13523 . . . . . . 7
74, 6eqeq12d 2479 . . . . . 6
83, 7imbi12d 320 . . . . 5
98imbi2d 316 . . . 4
10 sseq1 3524 . . . . . 6
11 sumeq1 13511 . . . . . . 7
12 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
1312sumeq1d 13523 . . . . . . 7
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . 6
1510, 14imbi12d 320 . . . . 5
1615imbi2d 316 . . . 4
17 sseq1 3524 . . . . . 6
18 sumeq1 13511 . . . . . . 7
19 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
2019sumeq1d 13523 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2479 . . . . . 6
2217, 21imbi12d 320 . . . . 5
2322imbi2d 316 . . . 4
24 sseq1 3524 . . . . . 6
25 sumeq1 13511 . . . . . . 7
26 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
2726sumeq1d 13523 . . . . . . 7
2825, 27eqeq12d 2479 . . . . . 6
2924, 28imbi12d 320 . . . . 5
3029imbi2d 316 . . . 4
31 sum0 13543 . . . . . 6
32 0iun 4387 . . . . . . 7
3332sumeq1i 13520 . . . . . 6
34 sum0 13543 . . . . . 6
3531, 33, 343eqtr4ri 2497 . . . . 5
3635a1ii 27 . . . 4
37 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
38 sstr 3511 . . . . . . . . . 10
3937, 38mpan 670 . . . . . . . . 9
4039imim1i 58 . . . . . . . 8
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11
42 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
4342, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12
4542, 44sylan 471 . . . . . . . . . . 11
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12
4742, 46sylan 471 . . . . . . . . . . 11
48 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
49 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
50 biid 236 . . . . . . . . . . 11
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 13585 . . . . . . . . . 10
5251exp31 604 . . . . . . . . 9
5352a2d 26 . . . . . . . 8
5440, 53syl5 32 . . . . . . 7
5554expcom 435 . . . . . 6
5655a2d 26 . . . . 5
5756adantl 466 . . . 4
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 7781 . . 3
592, 58mpcom 36 . 2
601, 59mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumxp  13587  fsumcom2  13589  ovoliunlem1  21913  fsumvma  23488  eulerpartlemgs2  28319  dvnprodlem2  31744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator