Theorem fsum2dlem 13585

Description: Lemma for fsum2d 13586- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1
fsum2d.2
fsum2d.3
fsum2d.4
fsum2d.5
fsum2d.6
fsum2d.7

Assertion

Ref	Expression
fsum2dlem

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem fsum2dlem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4
2		fsum2d.7	. . . 4
3	1, 2	sylib 196	. . 3
4		nfcv 2619	. . . . . 6
5		nfcsb1v 3450	. . . . . . 7
6		nfcsb1v 3450	. . . . . . 7
7	5, 6	nfsum 13513	. . . . . 6
8		csbeq1a 3443	. . . . . . 7
9		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
10	9	adantr 465	. . . . . . 7
11	8, 10	sumeq12dv 13528	. . . . . 6
12	4, 7, 11	cbvsumi 13519	. . . . 5
13		fsum2d.6	. . . . . . . . 9
14	13	unssbd 3681	. . . . . . . 8
15		vex 3112	. . . . . . . . 9
16	15	snss 4154	. . . . . . . 8
17	14, 16	sylibr 212	. . . . . . 7
18		fsum2d.3	. . . . . . . . . 10
19	18	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
20		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
21	20	nfel1 2635	. . . . . . . . . 10
22		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
23	22	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
24	21, 23	rspc 3204	. . . . . . . . 9
25	17, 19, 24	sylc 60	. . . . . . . 8
26		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11
27	26	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . 10
28		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . 12
30	20, 29	nfral 2843	. . . . . . . . . . 11
31		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
33	22, 32	raleqbidv 3068	. . . . . . . . . . 11
34	30, 33	rspc 3204	. . . . . . . . . 10
35	17, 27, 34	sylc 60	. . . . . . . . 9
36	35	r19.21bi 2826	. . . . . . . 8
37	25, 36	fsumcl 13555	. . . . . . 7
38		csbeq1 3437	. . . . . . . . 9
39		csbeq1 3437	. . . . . . . . . 10
40	39	adantr 465	. . . . . . . . 9
41	38, 40	sumeq12dv 13528	. . . . . . . 8
42	41	sumsn 13563	. . . . . . 7
43	17, 37, 42	syl2anc 661	. . . . . 6
44		nfcv 2619	. . . . . . . 8
45		nfcsb1v 3450	. . . . . . . 8
46		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
47	44, 45, 46	cbvsumi 13519	. . . . . . 7
48		csbeq1 3437	. . . . . . . . 9
49		snfi 7616	. . . . . . . . . 10
50		xpfi 7811	. . . . . . . . . 10
51	49, 25, 50	sylancr 663	. . . . . . . . 9
52		2ndconst 6889	. . . . . . . . . 10
53	17, 52	syl 16	. . . . . . . . 9
54		fvres 5885	. . . . . . . . . 10
55	54	adantl 466	. . . . . . . . 9
56	45	nfel1 2635	. . . . . . . . . . 11
57	46	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
58	56, 57	rspc 3204	. . . . . . . . . 10
59	35, 58	mpan9 469	. . . . . . . . 9
60	48, 51, 53, 55, 59	fsumf1o 13545	. . . . . . . 8
61		elxp 5021	. . . . . . . . . . . 12
62		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	20	nfcri 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65	63, 64	nfan 1928	. . . . . . . . . . . . . . 15
66	62, 65	nfan 1928	. . . . . . . . . . . . . 14
67	66	nfex 1948	. . . . . . . . . . . . 13
68		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . 13
69		opeq1 4217	. . . . . . . . . . . . . . . 16
70	69	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15
71		eqtr2 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	71, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	73	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75		elsn 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	74, 76	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		equequ1 1798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79	78	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	77, 79	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	70, 80	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14
82	81	exbidv 1714	. . . . . . . . . . . . 13
83	67, 68, 82	cbvex 2022	. . . . . . . . . . . 12
84	61, 83	bitri 249	. . . . . . . . . . 11
85		nfv 1707	. . . . . . . . . . . 12
86		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14
87	86, 28	nfcsb 3452	. . . . . . . . . . . . 13
88	87	nfeq2 2636	. . . . . . . . . . . 12
89		nfv 1707	. . . . . . . . . . . . 13
90		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
91	90	nfeq2 2636	. . . . . . . . . . . . 13
92		fsum2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16
93	92	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15
95		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98	96, 97	op2nd 6809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99	95, 98	syl6req 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
100	99	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
101		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
103	93, 94, 102	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . 14
104	103	expl 618	. . . . . . . . . . . . 13
105	89, 91, 104	exlimd 1914	. . . . . . . . . . . 12
106	85, 88, 105	exlimd 1914	. . . . . . . . . . 11
107	84, 106	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10
108	107	imp 429	. . . . . . . . 9
109	108	sumeq2dv 13525	. . . . . . . 8
110	60, 109	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
111	47, 110	syl5eq 2510	. . . . . 6
112	43, 111	eqtrd 2498	. . . . 5
113	12, 112	syl5eq 2510	. . . 4
114	113	adantr 465	. . 3
115	3, 114	oveq12d 6314	. 2
116		fsum2d.5	. . . . 5
117		disjsn 4090	. . . . 5
118	116, 117	sylibr 212	. . . 4
119		eqidd 2458	. . . 4
120		fsum2d.2	. . . . 5
121		ssfi 7760	. . . . 5
122	120, 13, 121	syl2anc 661	. . . 4
123	13	sselda 3503	. . . . 5
124	26	anassrs 648	. . . . . 6
125	18, 124	fsumcl 13555	. . . . 5
126	123, 125	syldan 470	. . . 4
127	118, 119, 122, 126	fsumsplit 13562	. . 3
128	127	adantr 465	. 2
129		eliun 4335	. . . . . . . . . 10
130		xp1st 6830	. . . . . . . . . . . . . 14
131		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . 14
132	130, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
133	132	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
134		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
135	133, 134	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11
136	135	rexlimiva 2945	. . . . . . . . . 10
137	129, 136	sylbi 195	. . . . . . . . 9
138		xp1st 6830	. . . . . . . . 9
139	137, 138	anim12i 566	. . . . . . . 8
140		elin 3686	. . . . . . . 8
141		elin 3686	. . . . . . . 8
142	139, 140, 141	3imtr4i 266	. . . . . . 7
143	118	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
144		noel 3788	. . . . . . . . 9
145	144	pm2.21i 131	. . . . . . . 8
146	143, 145	syl6bi 228	. . . . . . 7
147	142, 146	syl5 32	. . . . . 6
148	147	ssrdv 3509	. . . . 5
149		ss0 3816	. . . . 5
150	148, 149	syl 16	. . . 4
151		iunxun 4412	. . . . . 6
152		nfcv 2619	. . . . . . . . 9
153		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
154	153, 5	nfxp 5031	. . . . . . . . 9
155		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
156	155, 8	xpeq12d 5029	. . . . . . . . 9
157	152, 154, 156	cbviun 4367	. . . . . . . 8
158		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
159	158, 38	xpeq12d 5029	. . . . . . . . 9
160	15, 159	iunxsn 4410	. . . . . . . 8
161	157, 160	eqtri 2486	. . . . . . 7
162	161	uneq2i 3654	. . . . . 6
163	151, 162	eqtri 2486	. . . . 5
164	163	a1i 11	. . . 4
165		snfi 7616	. . . . . . 7
166	123, 18	syldan 470	. . . . . . 7
167		xpfi 7811	. . . . . . 7
168	165, 166, 167	sylancr 663	. . . . . 6
169	168	ralrimiva 2871	. . . . 5
170		iunfi 7828	. . . . 5
171	122, 169, 170	syl2anc 661	. . . 4
172		eliun 4335	. . . . . 6
173		elxp 5021	. . . . . . . 8
174		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
175		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . 15
176		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . . 15
177	175, 176	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
178	177	opeq1d 4223	. . . . . . . . . . . . 13
179	174, 178	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12
180	179, 92	syl 16	. . . . . . . . . . 11
181		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12
182	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
183		simprrr 766	. . . . . . . . . . . 12
184	181, 182, 183, 26	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11
185	180, 184	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
186	185	ex 434	. . . . . . . . 9
187	186	exlimdvv 1725	. . . . . . . 8
188	173, 187	syl5bi 217	. . . . . . 7
189	188	rexlimdva 2949	. . . . . 6
190	172, 189	syl5bi 217	. . . . 5
191	190	imp 429	. . . 4
192	150, 164, 171, 191	fsumsplit 13562	. . 3
193	192	adantr 465	. 2
194	115, 128, 193	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cfn 7536  cc 9511  caddc 9516  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  fsum2d  13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509