Theorem fsumadd 13561

Description: The sum of two finite sums. (Contributed by NM, 14-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumadd.1
fsumadd.2
fsumadd.3

Assertion

Ref	Expression
fsumadd

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumadd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 9776	. . . . 5
2		sum0 13543	. . . . . 6
3		sum0 13543	. . . . . 6
4	2, 3	oveq12i 6308	. . . . 5
5		sum0 13543	. . . . 5
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2497	. . . 4
7		sumeq1 13511	. . . 4
8		sumeq1 13511	. . . . 5
9		sumeq1 13511	. . . . 5
10	8, 9	oveq12d 6314	. . . 4
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2524	. . 3
12	11	a1i 11	. 2
13		simprl 756	. . . . . . . . 9
14		nnuz 11145	. . . . . . . . 9
15	13, 14	syl6eleq 2555	. . . . . . . 8
16		fsumadd.2	. . . . . . . . . . . 12
17	16	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
18		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	fmptd 6055	. . . . . . . . . 10
20		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
21		f1of 5821	. . . . . . . . . . 11
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10
23		fco 5746	. . . . . . . . . 10
24	19, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
25	24	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
26		fsumadd.3	. . . . . . . . . . . 12
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
28		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11
29	27, 28	fmptd 6055	. . . . . . . . . 10
30		fco 5746	. . . . . . . . . 10
31	29, 22, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
32	31	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
33	22	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
34		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15
35		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	34, 36	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	18	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	39, 16, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
42	28	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	39, 26, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
44	41, 43	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13
45	38, 44	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12
46	45	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
48		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . . 12
49		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . . . 13
50		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13
51		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . . . 13
52	49, 50, 51	nfov 6322	. . . . . . . . . . . 12
53	48, 52	nfeq 2630	. . . . . . . . . . 11
54		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
55		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
56		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
57	55, 56	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12
58	54, 57	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
59	53, 58	rspc 3204	. . . . . . . . . 10
60	33, 47, 59	sylc 60	. . . . . . . . 9
61		fvco3 5950	. . . . . . . . . 10
62	22, 61	sylan 471	. . . . . . . . 9
63		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
64	22, 63	sylan 471	. . . . . . . . . 10
65		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
66	22, 65	sylan 471	. . . . . . . . . 10
67	64, 66	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
68	60, 62, 67	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8
69	15, 25, 32, 68	seradd 12149	. . . . . . 7
70		fveq2 5871	. . . . . . . 8
71	17, 27	addcld 9636	. . . . . . . . . 10
72	71, 35	fmptd 6055	. . . . . . . . 9
73	72	ffvelrnda 6031	. . . . . . . 8
74	70, 13, 20, 73, 62	fsum 13542	. . . . . . 7
75		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
76	19	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . 9
77	75, 13, 20, 76, 64	fsum 13542	. . . . . . . 8
78		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
79	29	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . 9
80	78, 13, 20, 79, 66	fsum 13542	. . . . . . . 8
81	77, 80	oveq12d 6314	. . . . . . 7
82	69, 74, 81	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
83		sumfc 13531	. . . . . 6
84		sumfc 13531	. . . . . . 7
85		sumfc 13531	. . . . . . 7
86	84, 85	oveq12i 6308	. . . . . 6
87	82, 83, 86	3eqtr3g 2521	. . . . 5
88	87	expr 615	. . . 4
89	88	exlimdv 1724	. . 3
90	89	expimpd 603	. 2
91		fsumadd.1	. . 3
92		fz1f1o 13532	. . 3
93	91, 92	syl 16	. 2
94	12, 90, 93	mpjaod 381	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  c0 3784  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  chash 12405  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  fsumsplit  13562  fsumsub  13603  binomlem  13641  pcbc  14419  csbren  21826  trirn  21827  ovollb2lem  21899  ovoliunlem1  21913  itg1addlem5  22107  itgsplit  22242  plyaddlem1  22610  basellem8  23361  logfaclbnd  23497  dchrvmasum2if  23682  mudivsum  23715  logsqvma  23727  selberglem1  23730  selberglem2  23731  selberg  23733  selberg2  23736  selberg3lem1  23742  selberg4  23746  pntsval2  23761  ax5seglem9  24240  binomfallfaclem2  29162  dvnmul  31740  dirkertrigeqlem2  31881  altgsumbcALT  32942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509