Theorem fsumcl 13555

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A(). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1
fsumcl.2

Assertion

Ref	Expression
fsumcl

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3522	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		addcl 9595	. . 3
4	3	adantl 466	. 2
5		fsumcl.1	. 2
6		fsumcl.2	. 2
7		0cnd 9610	. 2
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13554	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  caddc 9516  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13585  fsum0diag2  13598  fsummulc1  13600  fsumdivc  13601  fsumneg  13602  fsumsub  13603  fsum2mul  13604  fsumabs  13615  telfsumo  13616  fsumparts  13620  o1fsum  13627  cvgcmpce  13632  climfsum  13634  fsumiun  13635  binom1dif  13645  incexclem  13648  incexc  13649  isumsplit  13652  arisum2  13672  geoserg  13677  mertenslem1  13693  mertens  13695  fprodefsum  13830  eirrlem  13937  pcfac  14418  sylow2a  16639  itg1addlem5  22107  itgcl  22190  dvmptfsum  22376  dvfsumabs  22424  dvfsumlem1  22427  plyf  22595  plymullem1  22611  coeeulem  22621  coemullem  22647  plycjlem  22673  taylpf  22761  mtest  22799  mtestbdd  22800  pserdvlem2  22823  abelthlem6  22831  abelthlem7  22833  advlogexp  23036  log2tlbnd  23276  birthdaylem2  23282  fsumharmonic  23341  ftalem1  23346  ftalem5  23350  sgmf  23419  chtdif  23432  fsumdvdscom  23461  fsumdvdsmul  23471  logexprlim  23500  dchrsum2  23543  sumdchr2  23545  rpvmasumlem  23672  dchrisumlem1  23674  dchrisumlem2  23675  dchrisum  23677  dchrmusum2  23679  dchrvmasum2if  23682  dchrvmasumlem3  23684  dchrvmasumiflem1  23686  dchrvmasumiflem2  23687  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  dchrisum0lem3  23704  dchrmusumlem  23707  dchrvmasumlem  23708  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  mulogsum  23717  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  mulog2sumlem3  23721  vmalogdivsum  23724  logsqvma  23727  selberglem1  23730  selberglem2  23731  selberg2lem  23735  selberg2  23736  selberg3lem1  23742  pntrsumo1  23750  pntrsumbnd  23751  selbergr  23753  selberg4r  23755  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntlemo  23792  ax5seglem6  24237  axlowdimlem16  24260  dipcl  25625  esumcvg  28092  lgamcvg2  28597  subfacval2  28631  subfaclim  28632  binomfallfaclem2  29162  bpolycl  29814  bpolysum  29815  bpolydiflem  29816  fsumkthpow  29818  jm2.23  30938  fsumclf  31567  sumnnodd  31636  dvnmul  31740  dvnprodlem1  31743  dvnprodlem2  31744  stoweidlem26  31808  dirkertrigeqlem2  31881  dirkeritg  31884  fourierdlem73  31962  fourierdlem83  31972  elaa2lem  32016  etransclem23  32040  etransclem27  32044  etransclem31  32048  etransclem33  32050  etransclem39  32056  etransclem46  32063  etransclem47  32064  etransclem48  32065  altgsumbcALT  32942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509