Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcnv Unicode version

Theorem fsumcnv 13588
 Description: Transform a region of summation by using the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcnv.1
fsumcnv.2
fsumcnv.3
fsumcnv.4
fsumcnv.5
Assertion
Ref Expression
fsumcnv
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fsumcnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3443 . . . 4
2 fvex 5881 . . . . 5
3 fvex 5881 . . . . 5
4 opex 4716 . . . . . . 7
5 fsumcnv.1 . . . . . . 7
64, 5csbie 3460 . . . . . 6
7 opeq12 4219 . . . . . . 7
87csbeq1d 3441 . . . . . 6
96, 8syl5eqr 2512 . . . . 5
102, 3, 9csbie2 3464 . . . 4
111, 10syl6eqr 2516 . . 3
12 fsumcnv.3 . . . 4
13 cnvfi 7824 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
15 relcnv 5379 . . . . 5
16 cnvf1o 6899 . . . . 5
1715, 16ax-mp 5 . . . 4
18 fsumcnv.4 . . . . . 6
19 dfrel2 5462 . . . . . 6
2018, 19sylib 196 . . . . 5
21 f1oeq3 5814 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
2317, 22mpbii 211 . . 3
24 1st2nd 6846 . . . . . . 7
2515, 24mpan 670 . . . . . 6
2625fveq2d 5875 . . . . 5
27 id 22 . . . . . . 7
2825, 27eqeltrrd 2546 . . . . . 6
29 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
3029cnveqd 5183 . . . . . . . . 9
3130unieqd 4259 . . . . . . . 8
32 opswap 5500 . . . . . . . 8
3331, 32syl6eq 2514 . . . . . . 7
34 eqid 2457 . . . . . . 7
35 opex 4716 . . . . . . 7
3633, 34, 35fvmpt 5956 . . . . . 6
3728, 36syl 16 . . . . 5
3826, 37eqtrd 2498 . . . 4
40 fsumcnv.5 . . 3
4111, 14, 23, 39, 40fsumf1o 13545 . 2
42 csbeq1a 3443 . . . . 5
4325, 42syl 16 . . . 4
44 opex 4716 . . . . . . 7
45 fsumcnv.2 . . . . . . 7
4644, 45csbie 3460 . . . . . 6
47 opeq12 4219 . . . . . . . 8
4847ancoms 453 . . . . . . 7
4948csbeq1d 3441 . . . . . 6
5046, 49syl5eqr 2512 . . . . 5
512, 3, 50csbie2 3464 . . . 4
5243, 51syl6eqr 2516 . . 3
5352sumeq2i 13521 . 2
5441, 53syl6eqr 2516 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  'ccnv 5003  Relwrel 5009  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799   cfn 7536   cc 9511  sum_csu 13508 This theorem is referenced by:  fsumcom2  13589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator