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Theorem fsumcom2 13589
 Description: Interchange order of summation. Note that ( ) and ( ) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcom2.1
fsumcom2.2
fsumcom2.3
fsumcom2.4
fsumcom2.5
Assertion
Ref Expression
fsumcom2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem fsumcom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5115 . . . . . . . . 9
21rgenw 2818 . . . . . . . 8
3 reliun 5128 . . . . . . . 8
42, 3mpbir 209 . . . . . . 7
5 relcnv 5379 . . . . . . 7
6 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12
7 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
8 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8opth 4726 . . . . . . . . . . . 12
108, 7opth 4726 . . . . . . . . . . . 12
116, 9, 103bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10
13 fsumcom2.4 . . . . . . . . . 10
1412, 13anbi12d 710 . . . . . . . . 9
15142exbidv 1716 . . . . . . . 8
16 eliunxp 5145 . . . . . . . 8
177, 8opelcnv 5189 . . . . . . . . 9
18 eliunxp 5145 . . . . . . . . 9
19 excom 1849 . . . . . . . . 9
2017, 18, 193bitri 271 . . . . . . . 8
2115, 16, 203bitr4g 288 . . . . . . 7
224, 5, 21eqrelrdv 5104 . . . . . 6
23 nfcv 2619 . . . . . . 7
24 nfcv 2619 . . . . . . . 8
25 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
2624, 25nfxp 5031 . . . . . . 7
27 sneq 4039 . . . . . . . 8
28 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
2927, 28xpeq12d 5029 . . . . . . 7
3023, 26, 29cbviun 4367 . . . . . 6
31 nfcv 2619 . . . . . . . 8
32 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
33 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
3432, 33nfxp 5031 . . . . . . . 8
35 sneq 4039 . . . . . . . . 9
36 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
3735, 36xpeq12d 5029 . . . . . . . 8
3831, 34, 37cbviun 4367 . . . . . . 7
3938cnveqi 5182 . . . . . 6
4022, 30, 393eqtr3g 2521 . . . . 5
4140sumeq1d 13523 . . . 4
42 vex 3112 . . . . . . . 8
43 vex 3112 . . . . . . . 8
4442, 43op1std 6810 . . . . . . 7
4544csbeq1d 3441 . . . . . 6
4642, 43op2ndd 6811 . . . . . . . 8
4746csbeq1d 3441 . . . . . . 7
4847csbeq2dv 3835 . . . . . 6
4945, 48eqtrd 2498 . . . . 5
5043, 42op2ndd 6811 . . . . . . 7
5150csbeq1d 3441 . . . . . 6
5243, 42op1std 6810 . . . . . . . 8
5352csbeq1d 3441 . . . . . . 7
5453csbeq2dv 3835 . . . . . 6
5551, 54eqtrd 2498 . . . . 5
56 fsumcom2.2 . . . . . 6
57 snfi 7616 . . . . . . . 8
58 fsumcom2.1 . . . . . . . . . 10
5958adantr 465 . . . . . . . . 9
6033nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62 ssnid 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6361, 62syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 opelxp 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6664, 65syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6736eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 67bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6960, 68rspce 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7169, 70sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7243, 42opelcnv 5189 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7371, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7522adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7674, 75eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13
77 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . 13
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
79 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 opelxp 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13
8786rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . 12
8878, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11
8988expr 615 . . . . . . . . . 10
9089ssrdv 3509 . . . . . . . . 9
91 ssfi 7760 . . . . . . . . 9
9259, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . 8
93 xpfi 7811 . . . . . . . 8
9457, 92, 93sylancr 663 . . . . . . 7
9594ralrimiva 2871 . . . . . 6
96 iunfi 7828 . . . . . 6
9756, 95, 96syl2anc 661 . . . . 5
98 reliun 5128 . . . . . . 7
99 relxp 5115 . . . . . . . 8
10099a1i 11 . . . . . . 7
10198, 100mprgbir 2821 . . . . . 6
102101a1i 11 . . . . 5
103 simpr 461 . . . . . . . 8
104 eliun 4335 . . . . . . . 8
105103, 104sylib 196 . . . . . . 7
106 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
107106adantl 466 . . . . . . . . 9
108 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . 12
109108adantl 466 . . . . . . . . . . 11
110 elsni 4054 . . . . . . . . . . 11
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . 10
112111csbeq1d 3441 . . . . . . . . 9
113107, 112eleqtrrd 2548 . . . . . . . 8
114113rexlimiva 2945 . . . . . . 7
115105, 114syl 16 . . . . . 6
116 simpl 457 . . . . . . . . . 10
117111, 116eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
118117rexlimiva 2945 . . . . . . . 8
119105, 118syl 16 . . . . . . 7
120 simpl 457 . . . . . . . . . 10
12125nfcri 2612 . . . . . . . . . . . 12
12283eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124123eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
12680, 125sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
128121, 127rexlimi 2939 . . . . . . . . . . 11
12978, 128syl 16 . . . . . . . . . 10
130 fsumcom2.5 . . . . . . . . . . . . . 14
131130ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . 13
132 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15
13425, 133nfral 2843 . . . . . . . . . . . . . 14
135 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
13728, 136raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . . . . 14
138134, 137rspc 3204 . . . . . . . . . . . . 13
139131, 138mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12
140 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
141140nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13
142 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
143142eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
144141, 143rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12
145139, 144syl5com 30 . . . . . . . . . . 11
146145impr 619 . . . . . . . . . 10
147120, 88, 129, 146syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
148147ralrimivva 2878 . . . . . . . 8
149148adantr 465 . . . . . . 7
150 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
151 csbeq1 3437 . . . . . . . . . 10
152151eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
153150, 152raleqbidv 3068 . . . . . . . 8
154153rspcv 3206 . . . . . . 7
155119, 149, 154sylc 60 . . . . . 6
156 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
157156csbeq2dv 3835 . . . . . . . 8
158157eleq1d 2526 . . . . . . 7
159158rspcv 3206 . . . . . 6
160115, 155, 159sylc 60 . . . . 5
16149, 55, 97, 102, 160fsumcnv 13588 . . . 4
16241, 161eqtr4d 2501 . . 3
163 fsumcom2.3 . . . . . 6
164163ralrimiva 2871 . . . . 5
16525nfel1 2635 . . . . . 6
16628eleq1d 2526 . . . . . 6
167165, 166rspc 3204 . . . . 5
168164, 167mpan9 469 . . . 4
16955, 58, 168, 146fsum2d 13586 . . 3
17049, 56, 92, 147fsum2d 13586 . . 3
171162, 169, 1703eqtr4d 2508 . 2
172 nfcv 2619 . . 3
173 nfcv 2619 . . . . 5
174173, 132nfcsb 3452 . . . 4
17525, 174nfsum 13513 . . 3
176 nfcv 2619 . . . . 5
177 nfcsb1v 3450 . . . . 5
178 csbeq1a 3443 . . . . 5
179176, 177, 178cbvsumi 13519 . . . 4
180135csbeq2dv 3835 . . . . . 6
181180adantr 465 . . . . 5
18228, 181sumeq12dv 13528 . . . 4
183179, 182syl5eq 2510 . . 3
184172, 175, 183cbvsumi 13519 . 2
185 nfcv 2619 . . 3
18633, 140nfsum 13513 . . 3
187 nfcv 2619 . . . . 5
188187, 132, 135cbvsumi 13519 . . . 4
189142adantr 465 . . . . 5
19036, 189sumeq12dv 13528 . . . 4
191188, 190syl5eq 2510 . . 3
192185, 186, 191cbvsumi 13519 . 2
193171, 184, 1923eqtr4g 2523 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002  'ccnv 5003  Relwrel 5009  cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799   cfn 7536   cc 9511  sum_csu 13508 This theorem is referenced by:  fsumcom  13590  fsum0diag  13592  fsumdvdsdiag  23460  dvdsflsumcom  23464  fsumfldivdiag  23466  logfac2  23492  chpchtsum  23494  logfaclbnd  23497  dchrisum0lem1  23701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
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