Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Unicode version

Theorem fsumconst 13605
 Description: The sum of constant terms ( is not free in ). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 9779 . . . . 5
21adantl 466 . . . 4
32eqcomd 2465 . . 3
4 sumeq1 13511 . . . . 5
5 sum0 13543 . . . . 5
64, 5syl6eq 2514 . . . 4
7 fveq2 5871 . . . . . 6
8 hash0 12437 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2514 . . . . 5
109oveq1d 6311 . . . 4
116, 10eqeq12d 2479 . . 3
123, 11syl5ibrcom 222 . 2
13 eqidd 2458 . . . . . . 7
14 simprl 756 . . . . . . 7
15 simprr 757 . . . . . . 7
16 simpllr 760 . . . . . . 7
17 simplr 755 . . . . . . . 8
18 elfznn 11743 . . . . . . . 8
19 fvconst2g 6124 . . . . . . . 8
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . . . 7
2113, 14, 15, 16, 20fsum 13542 . . . . . 6
22 ser1const 12163 . . . . . . 7
2322ad2ant2lr 747 . . . . . 6
2421, 23eqtrd 2498 . . . . 5
2524expr 615 . . . 4
2625exlimdv 1724 . . 3
2726expimpd 603 . 2
28 fz1f1o 13532 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   c0 3784  {csn 4029  X.cxp 5002  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn 10561   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  o1fsum  13627  hashiun  13636  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  harmonic  13670  mertenslem1  13693  sumhash  14415  cshwshashnsame  14588  lagsubg2  16262  sylow2a  16639  lebnumlem3  21463  uniioombllem4  21995  birthdaylem2  23282  basellem8  23361  0sgm  23418  musum  23467  chtleppi  23485  vmasum  23491  logfac2  23492  chpval2  23493  chpchtsum  23494  chpub  23495  logfaclbnd  23497  dchrsum2  23543  sumdchr2  23545  lgsquadlem1  23629  chebbnd1lem1  23654  chtppilimlem1  23658  dchrmusum2  23679  dchrisum0flblem1  23693  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem2a  23702  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  selberglem2  23731  pntlemj  23788  hashclwwlkn  24836  rusgranumwlks  24956  frghash2spot  25063  usgreghash2spotv  25066  usgreghash2spot  25069  numclwwlk6  25113  rrndstprj2  30327  stoweidlem11  31793  stoweidlem26  31808  stoweidlem38  31820  dirkertrigeq  31883  fourierdlem73  31962  etransclem32  32049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509