Theorem fsumcvg2 13549

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1
fsumsers.2
fsumsers.3
fsumsers.4

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,N   ,   ,M

Proof of Theorem fsumcvg2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2619	. . . 4
2		nfv 1707	. . . . 5
3		nfcsb1v 3450	. . . . 5
4		nfcv 2619	. . . . 5
5	2, 3, 4	nfif 3970	. . . 4
6		eleq1 2529	. . . . 5
7		csbeq1a 3443	. . . . 5
8	6, 7	ifbieq1d 3964	. . . 4
9	1, 5, 8	cbvmpt 4542	. . 3
10		fsumsers.3	. . . . 5
11	10	ralrimiva 2871	. . . 4
12	3	nfel1 2635	. . . . 5
13	7	eleq1d 2526	. . . . 5
14	12, 13	rspc 3204	. . . 4
15	11, 14	mpan9 469	. . 3
16		fsumsers.2	. . 3
17		fsumsers.4	. . 3
18	9, 15, 16, 17	fsumcvg 13534	. 2
19		eluzel2 11115	. . . 4
20	16, 19	syl 16	. . 3
21		fsumsers.1	. . . . . 6
22		eluzelz 11119	. . . . . . 7
23		iftrue 3947	. . . . . . . . . . 11
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . 10
25	24, 10	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
26	25	ex 434	. . . . . . . 8
27		iffalse 3950	. . . . . . . . 9
28		0cn 9609	. . . . . . . . 9
29	27, 28	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8
30	26, 29	pm2.61d1 159	. . . . . . 7
31		eqid 2457	. . . . . . . 8
32	31	fvmpt2 5963	. . . . . . 7
33	22, 30, 32	syl2anr 478	. . . . . 6
34	21, 33	eqtr4d 2501	. . . . 5
35	34	ralrimiva 2871	. . . 4
36		nffvmpt1 5879	. . . . . 6
37	36	nfeq2 2636	. . . . 5
38		fveq2 5871	. . . . . 6
39		fveq2 5871	. . . . . 6
40	38, 39	eqeq12d 2479	. . . . 5
41	37, 40	rspc 3204	. . . 4
42	35, 41	mpan9 469	. . 3
43	20, 42	seqfeq 12132	. 2
44	43	fveq1d 5873	. 2
45	18, 43, 44	3brtr4d 4482	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307

This theorem is referenced by:  fsumsers  13550  fsumcvg3  13551  ef0lem  13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311