Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg3 Unicode version

Theorem fsumcvg3 13551
 Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1
fsumcvg3.2
fsumcvg3.3
fsumcvg3.4
fsumcvg3.5
fsumcvg3.6
Assertion
Ref Expression
fsumcvg3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,

Proof of Theorem fsumcvg3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3524 . . . 4
21rexbidv 2968 . . 3
3 fsumcvg3.4 . . . . . . 7
43adantr 465 . . . . . 6
5 fsumcvg3.1 . . . . . 6
64, 5syl6sseq 3549 . . . . 5
7 ltso 9686 . . . . . 6
8 fsumcvg3.3 . . . . . . . 8
98adantr 465 . . . . . . 7
10 simpr 461 . . . . . . 7
11 uzssz 11129 . . . . . . . . . 10
12 zssre 10896 . . . . . . . . . 10
1311, 12sstri 3512 . . . . . . . . 9
145, 13eqsstri 3533 . . . . . . . 8
154, 14syl6ss 3515 . . . . . . 7
169, 10, 153jca 1176 . . . . . 6
17 fisupcl 7948 . . . . . 6
187, 16, 17sylancr 663 . . . . 5
196, 18sseldd 3504 . . . 4
20 fimaxre2 10516 . . . . . . . . . 10
2115, 9, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2215, 10, 213jca 1176 . . . . . . . 8
23 suprub 10529 . . . . . . . 8
2422, 23sylan 471 . . . . . . 7
256sselda 3503 . . . . . . . 8
2611, 19sseldi 3501 . . . . . . . . 9
2726adantr 465 . . . . . . . 8
28 elfz5 11709 . . . . . . . 8
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . 7
3024, 29mpbird 232 . . . . . 6
3130ex 434 . . . . 5
3231ssrdv 3509 . . . 4
33 oveq2 6304 . . . . . 6
3433sseq2d 3531 . . . . 5
3534rspcev 3210 . . . 4
3619, 32, 35syl2anc 661 . . 3
37 fsumcvg3.2 . . . . 5
38 uzid 11124 . . . . 5
3937, 38syl 16 . . . 4
40 0ss 3814 . . . 4
41 oveq2 6304 . . . . . 6
4241sseq2d 3531 . . . . 5
4342rspcev 3210 . . . 4
4439, 40, 43sylancl 662 . . 3
452, 36, 44pm2.61ne 2772 . 2
465eleq2i 2535 . . . . . 6
47 fsumcvg3.5 . . . . . 6
4846, 47sylan2br 476 . . . . 5
4948adantlr 714 . . . 4
50 simprl 756 . . . 4
51 fsumcvg3.6 . . . . 5
5251adantlr 714 . . . 4
53 simprr 757 . . . 4
5449, 50, 52, 53fsumcvg2 13549 . . 3
55 climrel 13315 . . . 4
5655releldmi 5244 . . 3
5754, 56syl 16 . 2
5845, 57rexlimddv 2953 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  Orwor 4804  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seq`cseq 12107   cli 13307 This theorem is referenced by:  isumless  13657  radcnv0  22811  fsumcvg4  27932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
 Copyright terms: Public domain W3C validator