MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Unicode version

Theorem fsumge0 13609
Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1
fsumge0.2
fsumge0.3
Assertion
Ref Expression
fsumge0
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11657 . . . . 5
2 ax-resscn 9570 . . . . 5
31, 2sstri 3512 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 ge0addcl 11661 . . . 4
65adantl 466 . . 3
7 fsumge0.1 . . 3
8 fsumge0.2 . . . 4
9 fsumge0.3 . . . 4
10 elrege0 11656 . . . 4
118, 9, 10sylanbrc 664 . . 3
12 0e0icopnf 11659 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 13554 . 2
15 elrege0 11656 . . 3
1615simprbi 464 . 2
1714, 16syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cpnf 9646   cle 9650   cico 11560  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumless  13610  fsumle  13613  o1fsum  13627  rrxcph  21824  csbren  21826  trirn  21827  rrxmet  21835  rrxdstprj1  21836  itg1ge0  22093  itg1ge0a  22118  mtest  22799  abelthlem7  22833  abelthlem8  22834  ftalem4  23349  ftalem5  23350  chtge0  23386  vmadivsum  23667  vmadivsumb  23668  rpvmasumlem  23672  dchrvmasumlem2  23683  dchrisum0re  23698  rplogsum  23712  dirith2  23713  mulog2sumlem2  23720  vmalogdivsum2  23723  2vmadivsumlem  23725  selbergb  23734  selberg2b  23737  logdivbnd  23741  selberg3lem2  23743  selberg4lem1  23745  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bnd  23769  pntpbnd1  23771  pntlemf  23790  axsegconlem3  24222  ax5seglem3  24234  sibfof  28282  eulerpartlemgc  28301  eulerpartlemb  28307  rrnmet  30325  rrndstprj1  30326  rrndstprj2  30327  stoweidlem26  31808  stoweidlem38  31820  stoweidlem44  31826  etransclem35  32052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator