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Theorem fsumiun 13635
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1
fsumiun.2
fsumiun.3
fsumiun.4
Assertion
Ref Expression
fsumiun
Distinct variable groups:   , ,   ,   , ,   ,

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 fsumiun.1 . . 3
3 sseq1 3524 . . . . . 6
4 iuneq1 4344 . . . . . . . . 9
5 0iun 4387 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eq 2514 . . . . . . . 8
76sumeq1d 13523 . . . . . . 7
8 sumeq1 13511 . . . . . . 7
97, 8eqeq12d 2479 . . . . . 6
103, 9imbi12d 320 . . . . 5
1110imbi2d 316 . . . 4
12 sseq1 3524 . . . . . 6
13 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
1413sumeq1d 13523 . . . . . . 7
15 sumeq1 13511 . . . . . . 7
1614, 15eqeq12d 2479 . . . . . 6
1712, 16imbi12d 320 . . . . 5
1817imbi2d 316 . . . 4
19 sseq1 3524 . . . . . 6
20 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
2120sumeq1d 13523 . . . . . . 7
22 sumeq1 13511 . . . . . . 7
2321, 22eqeq12d 2479 . . . . . 6
2419, 23imbi12d 320 . . . . 5
2524imbi2d 316 . . . 4
26 sseq1 3524 . . . . . 6
27 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
2827sumeq1d 13523 . . . . . . 7
29 sumeq1 13511 . . . . . . 7
3028, 29eqeq12d 2479 . . . . . 6
3126, 30imbi12d 320 . . . . 5
3231imbi2d 316 . . . 4
33 sum0 13543 . . . . . 6
34 sum0 13543 . . . . . 6
3533, 34eqtr4i 2489 . . . . 5
3635a1ii 27 . . . 4
37 id 22 . . . . . . . . . 10
3837unssad 3680 . . . . . . . . 9
3938imim1i 58 . . . . . . . 8
40 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
41 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4441, 42, 43cbviun 4367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46iunxsn 4410 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4844, 47eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948ineq2i 3696 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
5238adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453unssbd 3681 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5755, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 disjiun 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14
6049, 59syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13
61 iunxun 4412 . . . . . . . . . . . . . . 15
6248uneq2i 3654 . . . . . . . . . . . . . . 15
6361, 62eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
652ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . 15
6765, 53, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
68 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15
7253, 70, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
73 iunfi 7828 . . . . . . . . . . . . . 14
7467, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
75 iunss1 4342 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . 14
78 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8278, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
8477, 83syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
8560, 64, 74, 84fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . 12
86 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . 14
8753sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
8879anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8968, 88fsumcl 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9089ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15
9387, 92syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
9457, 86, 67, 93fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . 13
95 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9742, 96nfsum 13513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9843sumeq1d 13523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9995, 97, 98cbvsumi 13519 . . . . . . . . . . . . . . 15
10045snss 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10154, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103102, 96nfsum 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104103nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106105sumeq1d 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108104, 107rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109101, 91, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11046sumeq1d 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110sumsn 13563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11245, 109, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
11399, 112syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
114113oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
11594, 114eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
11685, 115eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
11740, 116syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10
118117ex 434 . . . . . . . . 9
119118a2d 26 . . . . . . . 8
12039, 119syl5 32 . . . . . . 7
121120expcom 435 . . . . . 6
122121a2d 26 . . . . 5
123122adantl 466 . . . 4
12411, 18, 25, 32, 36, 123findcard2s 7781 . . 3
1252, 124mpcom 36 . 2
1261, 125mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  hashiun  13636  incexc2  13650  musum  23467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
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