Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Unicode version

Theorem fsumless 13610
 Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1
fsumge0.2
fsumge0.3
fsumless.4
Assertion
Ref Expression
fsumless
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5
2 difss 3630 . . . . 5
3 ssfi 7760 . . . . 5
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4
5 eldifi 3625 . . . . 5
6 fsumge0.2 . . . . 5
75, 6sylan2 474 . . . 4
8 fsumge0.3 . . . . 5
95, 8sylan2 474 . . . 4
104, 7, 9fsumge0 13609 . . 3
11 fsumless.4 . . . . . 6
12 ssfi 7760 . . . . . 6
131, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5
1411sselda 3503 . . . . . 6
1514, 6syldan 470 . . . . 5
1613, 15fsumrecl 13556 . . . 4
174, 7fsumrecl 13556 . . . 4
1816, 17addge01d 10165 . . 3
1910, 18mpbid 210 . 2
20 disjdif 3900 . . . 4
2120a1i 11 . . 3
22 undif 3908 . . . . 5
2311, 22sylib 196 . . . 4
2423eqcomd 2465 . . 3
256recnd 9643 . . 3
2621, 24, 1, 25fsumsplit 13562 . 2
2719, 26breqtrrd 4478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650  sum_csu 13508 This theorem is referenced by:  fsumge1  13611  fsum00  13612  ovolicc2lem4  21931  fsumharmonic  23341  chtwordi  23430  chpwordi  23431  chtlepsi  23481  chtublem  23486  perfectlem2  23505  chtppilimlem1  23658  vmadivsumb  23668  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrvmasumiflem1  23686  rplogsum  23712  dirith2  23713  mulog2sumlem2  23720  selbergb  23734  selberg2b  23737  chpdifbndlem1  23738  logdivbnd  23741  selberg3lem2  23743  pntrsumbnd  23751  pntlemf  23790  esumpcvgval  28084  eulerpartlemgc  28301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator