MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumm1 Unicode version

Theorem fsumm1 13566
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1
fsumm1.2
fsumm1.3
Assertion
Ref Expression
fsumm1
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem fsumm1
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7
2 eluzelz 11119 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 fzsn 11754 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
65ineq2d 3699 . . . 4
73zred 10994 . . . . . 6
87ltm1d 10503 . . . . 5
9 fzdisj 11741 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
116, 10eqtr3d 2500 . . 3
12 eluzel2 11115 . . . . . . 7
131, 12syl 16 . . . . . 6
14 peano2zm 10932 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
1613zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
17 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . 10
18 npcan 9852 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . 9
2019fveq2d 5875 . . . . . . . 8
211, 20eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
22 eluzp1m1 11133 . . . . . . 7
2315, 21, 22syl2anc 661 . . . . . 6
24 fzsuc2 11766 . . . . . 6
2513, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5
263zcnd 10995 . . . . . . 7
27 npcan 9852 . . . . . . 7
2826, 17, 27sylancl 662 . . . . . 6
2928oveq2d 6312 . . . . 5
3025, 29eqtr3d 2500 . . . 4
3128sneqd 4041 . . . . 5
3231uneq2d 3657 . . . 4
3330, 32eqtr3d 2500 . . 3
34 fzfid 12083 . . 3
35 fsumm1.2 . . 3
3611, 33, 34, 35fsumsplit 13562 . 2
37 eluzfz2 11723 . . . . . 6
381, 37syl 16 . . . . 5
3935ralrimiva 2871 . . . . 5
40 fsumm1.3 . . . . . . 7
4140eleq1d 2526 . . . . . 6
4241rspcv 3206 . . . . 5
4338, 39, 42sylc 60 . . . 4
4440sumsn 13563 . . . 4
451, 43, 44syl2anc 661 . . 3
4645oveq2d 6312 . 2
4736, 46eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fzosump1  13567  fsump1  13571  telfsumo  13616  fsumparts  13620  binom1dif  13645  prmreclem4  14437  ovolicc2lem4  21931  dvfsumlem1  22427  abelthlem6  22831  log2ublem2  23278  harmonicbnd4  23340  ftalem1  23346  ftalem5  23350  chpp1  23429  1sgmprm  23474  chtublem  23486  logdivbnd  23741  pntrlog2bndlem1  23762  bpolysum  29815  bpolydiflem  29816  mettrifi  30250  stoweidlem17  31799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator