MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsummulc2 Unicode version

Theorem fsummulc2 13599
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1
fsummulc2.2
fsummulc2.3
Assertion
Ref Expression
fsummulc2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4
21mul01d 9800 . . 3
3 sumeq1 13511 . . . . . 6
4 sum0 13543 . . . . . 6
53, 4syl6eq 2514 . . . . 5
65oveq2d 6312 . . . 4
7 sumeq1 13511 . . . . 5
8 sum0 13543 . . . . 5
97, 8syl6eq 2514 . . . 4
106, 9eqeq12d 2479 . . 3
112, 10syl5ibrcom 222 . 2
12 addcl 9595 . . . . . . . . 9
1312adantl 466 . . . . . . . 8
141adantr 465 . . . . . . . . 9
15 adddi 9602 . . . . . . . . . 10
16153expb 1197 . . . . . . . . 9
1714, 16sylan 471 . . . . . . . 8
18 simprl 756 . . . . . . . . 9
19 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
2018, 19syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22fmptd 6055 . . . . . . . . . . 11
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
25 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11
27 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10
29 fco 5746 . . . . . . . . . 10
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9
31 simpr 461 . . . . . . . . 9
3230, 31ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8
3328, 31ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
351adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635, 21mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . . 14
37 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
3934, 36, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
4022fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
4134, 21, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
4339, 42eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
4443ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
46 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . 12
47 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
48 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
49 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 48, 49nfov 6322 . . . . . . . . . . . 12
5146, 50nfeq 2630 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
53 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
5453oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
5552, 54eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
5651, 55rspc 3204 . . . . . . . . . 10
5733, 45, 56sylc 60 . . . . . . . . 9
5827ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
59 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10
6058, 59sylan 471 . . . . . . . . 9
61 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
6258, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
6457, 60, 633eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
6513, 17, 20, 32, 64seqdistr 12158 . . . . . . 7
66 fveq2 5871 . . . . . . . 8
6736, 37fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
6867adantr 465 . . . . . . . . 9
6968ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
7066, 18, 25, 69, 60fsum 13542 . . . . . . 7
71 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
7223adantr 465 . . . . . . . . . 10
7372ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
7471, 18, 25, 73, 62fsum 13542 . . . . . . . 8
7574oveq2d 6312 . . . . . . 7
7665, 70, 753eqtr4rd 2509 . . . . . 6
77 sumfc 13531 . . . . . . 7
7877oveq2i 6307 . . . . . 6
79 sumfc 13531 . . . . . 6
8076, 78, 793eqtr3g 2521 . . . . 5
8180expr 615 . . . 4
8281exlimdv 1724 . . 3
8382expimpd 603 . 2
84 fsummulc2.1 . . 3
85 fz1f1o 13532 . . 3
8684, 85syl 16 . 2
8711, 83, 86mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   c0 3784  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn 10561   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsummulc1  13600  fsumneg  13602  fsum2mul  13604  incexc2  13650  mertens  13695  eirrlem  13937  csbren  21826  trirn  21827  itg1addlem4  22106  itg1addlem5  22107  itg1mulc  22111  elqaalem3  22717  advlogexp  23036  fsumharmonic  23341  basellem8  23361  muinv  23469  fsumdvdsmul  23471  logfaclbnd  23497  dchrsum2  23543  sumdchr2  23545  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem1  23680  dchrvmasum2lem  23681  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumiflem1  23686  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem2  23703  mudivsum  23715  mulogsum  23717  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  mulog2sumlem3  23721  vmalogdivsum2  23723  logsqvma  23727  selberglem1  23730  selberglem2  23731  selberg  23733  selberg3lem1  23742  selberg4lem1  23745  selberg4  23746  selbergr  23753  selberg3r  23754  selberg34r  23756  pntsval2  23761  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem6  23768  pntpbnd2  23772  pntlemk  23791  axsegconlem9  24228  ax5seglem1  24231  ax5seglem2  24232  ax5seglem9  24240  binomrisefac  29164  fsumkthpow  29818  jm2.22  30937  dvnprodlem2  31744  stoweidlem26  31808  stirlinglem12  31867  fourierdlem83  31972  etransclem46  32063  altgsumbcALT  32942  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator