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Theorem fsumo1 13626
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set does not depend on ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1
fsumo1.2
fsumo1.3
fsumo1.4
Assertion
Ref Expression
fsumo1
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 fsumo1.2 . . 3
3 sseq1 3524 . . . . . 6
4 sumeq1 13511 . . . . . . . . 9
5 sum0 13543 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eq 2514 . . . . . . . 8
76mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
87eleq1d 2526 . . . . . 6
93, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 sseq1 3524 . . . . . 6
12 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
1312mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
1413eleq1d 2526 . . . . . 6
1511, 14imbi12d 320 . . . . 5
1615imbi2d 316 . . . 4
17 sseq1 3524 . . . . . 6
18 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
1918mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
2019eleq1d 2526 . . . . . 6
2117, 20imbi12d 320 . . . . 5
2221imbi2d 316 . . . 4
23 sseq1 3524 . . . . . 6
24 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
2524mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
2625eleq1d 2526 . . . . . 6
2723, 26imbi12d 320 . . . . 5
2827imbi2d 316 . . . 4
29 fsumo1.1 . . . . . 6
30 0cn 9609 . . . . . 6
31 o1const 13442 . . . . . 6
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . 5
3332a1d 25 . . . 4
34 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
35 sstr 3511 . . . . . . . . . 10
3634, 35mpan 670 . . . . . . . . 9
3736imim1i 58 . . . . . . . 8
38 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
432adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4643, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4844sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150anass1rs 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5351, 52o1mptrcl 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5649, 55syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5741, 42, 47, 56fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6158, 59, 60cbvsumi 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6244unssbd 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463snss 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6562, 64sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6755ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
68 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6968nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7170eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7269, 71rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7366, 67, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7574sumsn 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7666, 73, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7761, 76syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7957, 78eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . . . . . 14
8129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 reex 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382ssex 4596 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 sumex 13510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15
8984, 86, 73, 87, 88offval2 6556 . . . . . . . . . . . . . 14
9080, 89eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
92 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
9352ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
95 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695, 68nfmpt 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15
9870mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
10097, 99rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . 14
10165, 94, 100sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
102 o1add 13436 . . . . . . . . . . . . 13
10392, 101, 102syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
10491, 103eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11
105104ex 434 . . . . . . . . . 10
106105expr 615 . . . . . . . . 9
107106a2d 26 . . . . . . . 8
10837, 107syl5 32 . . . . . . 7
109108expcom 435 . . . . . 6
110109a2d 26 . . . . 5
111110adantl 466 . . . 4
11210, 16, 22, 28, 33, 111findcard2s 7781 . . 3
1132, 112mpcom 36 . 2
1141, 113mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  (class class class)co 6296  oFcof 6538   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   co1 13309  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-o1 13313  df-sum 13509
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