MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumparts Unicode version

Theorem fsumparts 13620
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b
fsumparts.c
fsumparts.d
fsumparts.e
fsumparts.1
fsumparts.2
fsumparts.3
Assertion
Ref Expression
fsumparts
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , ,M   ,N,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 13543 . . . 4
2 0m0e0 10670 . . . 4
31, 2eqtr4i 2489 . . 3
4 simpr 461 . . . . . 6
54oveq2d 6312 . . . . 5
6 fzo0 11849 . . . . 5
75, 6syl6eq 2514 . . . 4
87sumeq1d 13523 . . 3
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8
10 eluzfz1 11722 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
12 eqtr3 2485 . . . . . . . . . . . 12
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12
14 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . 12
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . . 11
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13
17 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2015, 19eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
2120pm5.74da 687 . . . . . . . . 9
22 eqidd 2458 . . . . . . . . 9
2321, 22vtoclg 3167 . . . . . . . 8
2423imp 429 . . . . . . 7
2511, 24sylan 471 . . . . . 6
2625oveq1d 6311 . . . . 5
27 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10
2827ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
2916simpld 459 . . . . . . . . . . 11
3029eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
3130rspcv 3206 . . . . . . . . 9
3211, 28, 31sylc 60 . . . . . . . 8
33 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10
3433ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
3516simprd 463 . . . . . . . . . . 11
3635eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
3736rspcv 3206 . . . . . . . . 9
3811, 34, 37sylc 60 . . . . . . . 8
3932, 38mulcld 9637 . . . . . . 7
4039subidd 9942 . . . . . 6
4140adantr 465 . . . . 5
4226, 41eqtrd 2498 . . . 4
437sumeq1d 13523 . . . . 5
44 sum0 13543 . . . . 5
4543, 44syl6eq 2514 . . . 4
4642, 45oveq12d 6314 . . 3
473, 8, 463eqtr4a 2524 . 2
48 simpr 461 . . . . . . . . 9
49 eluzel2 11115 . . . . . . . . . . . . . 14
509, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
52 fzp1ss 11760 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453sselda 3503 . . . . . . . . . 10
5527, 33mulcld 9637 . . . . . . . . . . 11
5655adantlr 714 . . . . . . . . . 10
5754, 56syldan 470 . . . . . . . . 9
5813, 14syl 16 . . . . . . . . 9
5948, 57, 58fsumm1 13566 . . . . . . . 8
60 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
63 fzoval 11830 . . . . . . . . . . . 12
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11
6551zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
66 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
67 pncan 9849 . . . . . . . . . . . . 13
6865, 66, 67sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
6968oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
7064, 69eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
7170sumeq1d 13523 . . . . . . . . 9
72 1zzd 10920 . . . . . . . . . 10
7351peano2zd 10997 . . . . . . . . . 10
74 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11
75 oveq12 6305 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . 10
7772, 73, 62, 57, 76fsumshftm 13596 . . . . . . . . 9
7871, 77eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
79 fzoval 11830 . . . . . . . . . . 11
8062, 79syl 16 . . . . . . . . . 10
8180sumeq1d 13523 . . . . . . . . 9
8281oveq1d 6311 . . . . . . . 8
8359, 78, 823eqtr4d 2508 . . . . . . 7
84 fzofi 12084 . . . . . . . . . 10
8584a1i 11 . . . . . . . . 9
86 uzid 11124 . . . . . . . . . . . 12
87 peano2uz 11163 . . . . . . . . . . . 12
88 fzoss1 11852 . . . . . . . . . . . 12
8951, 86, 87, 884syl 21 . . . . . . . . . . 11
9089sselda 3503 . . . . . . . . . 10
91 elfzofz 11843 . . . . . . . . . . . 12
9291, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
9392adantlr 714 . . . . . . . . . 10
9490, 93syldan 470 . . . . . . . . 9
9585, 94fsumcl 13555 . . . . . . . 8
96 eluzfz2 11723 . . . . . . . . . . . 12
979, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11
9813simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
9998eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
10099rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
10197, 28, 100sylc 60 . . . . . . . . . 10
10213simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
103102eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
104103rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
10597, 34, 104sylc 60 . . . . . . . . . 10
106101, 105mulcld 9637 . . . . . . . . 9
107106adantr 465 . . . . . . . 8
10895, 107addcomd 9803 . . . . . . 7
10983, 108eqtrd 2498 . . . . . 6
110109oveq1d 6311 . . . . 5
111 fzofzp1 11909 . . . . . . . . . 10
11274simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
113112eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
114113rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
11528, 111, 114syl2an 477 . . . . . . . . 9
116 elfzofz 11843 . . . . . . . . . 10
117 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13
118117simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
119118eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
120119rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
12128, 116, 120syl2an 477 . . . . . . . . 9
12274simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
123122eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
124123rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
12534, 111, 124syl2an 477 . . . . . . . . 9
126115, 121, 125subdird 10038 . . . . . . . 8
127126sumeq2dv 13525 . . . . . . 7
128 fzofi 12084 . . . . . . . . 9
129128a1i 11 . . . . . . . 8
130115, 125mulcld 9637 . . . . . . . 8
131121, 125mulcld 9637 . . . . . . . 8
132129, 130, 131fsumsub 13603 . . . . . . 7
133127, 132eqtrd 2498 . . . . . 6
134133adantr 465 . . . . 5
135129, 131fsumcl 13555 . . . . . . 7
136135adantr 465 . . . . . 6
137107, 136, 95subsub3d 9984 . . . . 5
138110, 134, 1373eqtr4d 2508 . . . 4
139138oveq2d 6312 . . 3
14039adantr 465 . . . 4
141136, 95subcld 9954 . . . 4
142107, 140, 141nnncan1d 9988 . . 3
14395, 140addcomd 9803 . . . . . . 7
144 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . 10
14550, 144sylan 471 . . . . . . . . 9
14664eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
147146biimpar 485 . . . . . . . . . 10
148147, 93syldan 470 . . . . . . . . 9
149145, 148, 18fsum1p 13568 . . . . . . . 8
15064sumeq1d 13523 . . . . . . . 8
15181oveq2d 6312 . . . . . . . 8
152149, 150, 1513eqtr4d 2508 . . . . . . 7
153143, 152eqtr4d 2501 . . . . . 6
154 oveq12 6305 . . . . . . . 8
155117, 154syl 16 . . . . . . 7
156155cbvsumv 13518 . . . . . 6
157153, 156syl6eq 2514 . . . . 5
158157oveq2d 6312 . . . 4
159136, 95, 140subsub4d 9985 . . . 4
160117simprd 463 . . . . . . . . . . 11
161160eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
162161rspccva 3209 . . . . . . . . 9
16334, 116, 162syl2an 477 . . . . . . . 8
164121, 125, 163subdid 10037 . . . . . . 7
165164sumeq2dv 13525 . . . . . 6
166121, 163mulcld 9637 . . . . . . 7
167129, 131, 166fsumsub 13603 . . . . . 6
168165, 167eqtrd 2498 . . . . 5
169168adantr 465 . . . 4
170158, 159, 1693eqtr4d 2508 . . 3
171139, 142, 1703eqtrrd 2503 . 2
172 uzp1 11143 . . 3
1739, 172syl 16 . 2
17447, 171, 173mpjaodan 786 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23675  selberg2lem  23735  logdivbnd  23741  pntrsumo1  23750  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem4  23765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator