MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrelem Unicode version

Theorem fsumrelem 13621
Description: Lemma for fsumre 13622, fsumim 13623, and fsumcj 13624. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1
fsumre.2
fsumrelem.3
fsumrelem.4
Assertion
Ref Expression
fsumrelem
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9609 . . . . . . . 8
2 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9
32ffvelrni 6030 . . . . . . . 8
41, 3ax-mp 5 . . . . . . 7
54addid1i 9788 . . . . . 6
6 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
76fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
8 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
98oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
107, 9eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
11 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
12 00id 9776 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
1413fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1615oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
1714, 16eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
18 fsumrelem.4 . . . . . . . 8
1910, 17, 18vtocl2ga 3175 . . . . . . 7
201, 1, 19mp2an 672 . . . . . 6
215, 20eqtr2i 2487 . . . . 5
224, 4, 1addcani 9794 . . . . 5
2321, 22mpbi 208 . . . 4
24 sumeq1 13511 . . . . . 6
25 sum0 13543 . . . . . 6
2624, 25syl6eq 2514 . . . . 5
2726fveq2d 5875 . . . 4
28 sumeq1 13511 . . . . 5
29 sum0 13543 . . . . 5
3028, 29syl6eq 2514 . . . 4
3123, 27, 303eqtr4a 2524 . . 3
3231a1i 11 . 2
33 addcl 9595 . . . . . . . . 9
3433adantl 466 . . . . . . . 8
35 fsumre.2 . . . . . . . . . . . 12
36 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36fmptd 6055 . . . . . . . . . . 11
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10
39 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
40 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
42 fco 5746 . . . . . . . . . 10
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4443ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
45 simprl 756 . . . . . . . . 9
46 nnuz 11145 . . . . . . . . 9
4745, 46syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
4818adantl 466 . . . . . . . 8
4941ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5136fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 35, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
5352fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
54 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
55 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
5750, 54, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
5853, 57eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
5958ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
61 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
62 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62nffv 5878 . . . . . . . . . . . 12
64 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . 12
6563, 64nfeq 2630 . . . . . . . . . . 11
66 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
6766fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
68 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
6967, 68eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
7065, 69rspc 3204 . . . . . . . . . 10
7149, 60, 70sylc 60 . . . . . . . . 9
72 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
7341, 72sylan 471 . . . . . . . . . 10
7473fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
75 fvco3 5950 . . . . . . . . . 10
7641, 75sylan 471 . . . . . . . . 9
7771, 74, 763eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
7834, 44, 47, 48, 77seqhomo 12154 . . . . . . 7
79 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
8038ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
8179, 45, 39, 80, 73fsum 13542 . . . . . . . 8
8281fveq2d 5875 . . . . . . 7
83 fveq2 5871 . . . . . . . 8
842ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . 12
8535, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11
8685, 55fmptd 6055 . . . . . . . . . 10
8786adantr 465 . . . . . . . . 9
8887ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
8983, 45, 39, 88, 76fsum 13542 . . . . . . 7
9078, 82, 893eqtr4d 2508 . . . . . 6
91 sumfc 13531 . . . . . . 7
9291fveq2i 5874 . . . . . 6
93 sumfc 13531 . . . . . 6
9490, 92, 933eqtr3g 2521 . . . . 5
9594expr 615 . . . 4
9695exlimdv 1724 . . 3
9796expimpd 603 . 2
98 fsumre.1 . . 3
99 fz1f1o 13532 . . 3
10098, 99syl 16 . 2
10132, 97, 100mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumre  13622  fsumim  13623  fsumcj  13624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator