Theorem fsumrev 13594

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1
fsumrev.2
fsumrev.3
fsumrev.4
fsumrev.5

Assertion

Ref	Expression
fsumrev

Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,M,   ,N,   ,,

Proof of Theorem fsumrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumrev.5	. 2
2		fzfid 12083	. 2
3		ovex 6324	. . . . 5
4		eqid 2457	. . . . 5
5	3, 4	fnmpti 5714	. . . 4
6	5	a1i 11	. . 3
7		ovex 6324	. . . . 5
8		eqid 2457	. . . . 5
9	7, 8	fnmpti 5714	. . . 4
10		simprr 757	. . . . . . . . 9
11		simprl 756	. . . . . . . . . 10
12		fsumrev.2	. . . . . . . . . . . 12
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
14		fsumrev.3	. . . . . . . . . . . 12
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
16		fsumrev.1	. . . . . . . . . . . 12
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
18		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . 12
19	11, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11
20		fzrev 11771	. . . . . . . . . . 11
21	13, 15, 17, 19, 20	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10
22	11, 21	mpbid 210	. . . . . . . . 9
23	10, 22	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
24	10	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
25		zcn 10894	. . . . . . . . . . 11
26		zcn 10894	. . . . . . . . . . 11
27		nncan 9871	. . . . . . . . . . 11
28	25, 26, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
29	17, 19, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
30	24, 29	eqtr2d 2499	. . . . . . . 8
31	23, 30	jca 532	. . . . . . 7
32		simprr 757	. . . . . . . . 9
33		simprl 756	. . . . . . . . . 10
34	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
35	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
36	16	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
37		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . 12
38	33, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11
39		fzrev2 11772	. . . . . . . . . . 11
40	34, 35, 36, 38, 39	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10
41	33, 40	mpbid 210	. . . . . . . . 9
42	32, 41	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
43	32	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
44		zcn 10894	. . . . . . . . . . 11
45		nncan 9871	. . . . . . . . . . 11
46	25, 44, 45	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
47	36, 38, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
48	43, 47	eqtr2d 2499	. . . . . . . 8
49	42, 48	jca 532	. . . . . . 7
50	31, 49	impbida 832	. . . . . 6
51	50	mptcnv 5413	. . . . 5
52	51	fneq1d 5676	. . . 4
53	9, 52	mpbiri 233	. . 3
54		dff1o4 5829	. . 3
55	6, 53, 54	sylanbrc 664	. 2
56		oveq2 6304	. . . 4
57	56, 4, 7	fvmpt 5956	. . 3
58	57	adantl 466	. 2
59		fsumrev.4	. 2
60	1, 2, 55, 58, 59	fsumf1o 13545	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cmin 9828  cz 10889  cfz 11701  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  fsumrev2  13597  birthdaylem2  23282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509