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Theorem fsumrlim 13625
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that ( ) is a collection of functions with implicit parameter , each of which converges to ( ) as . (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1
fsumrlim.2
fsumrlim.3
fsumrlim.4
Assertion
Ref Expression
fsumrlim
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3522 . 2
2 fsumrlim.2 . . 3
3 sseq1 3524 . . . . . 6
4 sumeq1 13511 . . . . . . . . 9
5 sum0 13543 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eq 2514 . . . . . . . 8
76mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
8 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
9 sum0 13543 . . . . . . . 8
108, 9syl6eq 2514 . . . . . . 7
117, 10breq12d 4465 . . . . . 6
123, 11imbi12d 320 . . . . 5
1312imbi2d 316 . . . 4
14 sseq1 3524 . . . . . 6
15 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
1615mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
17 sumeq1 13511 . . . . . . 7
1816, 17breq12d 4465 . . . . . 6
1914, 18imbi12d 320 . . . . 5
2019imbi2d 316 . . . 4
21 sseq1 3524 . . . . . 6
22 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
2322mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
24 sumeq1 13511 . . . . . . 7
2523, 24breq12d 4465 . . . . . 6
2621, 25imbi12d 320 . . . . 5
2726imbi2d 316 . . . 4
28 sseq1 3524 . . . . . 6
29 sumeq1 13511 . . . . . . . 8
3029mpteq2dv 4539 . . . . . . 7
31 sumeq1 13511 . . . . . . 7
3230, 31breq12d 4465 . . . . . 6
3328, 32imbi12d 320 . . . . 5
3433imbi2d 316 . . . 4
35 fsumrlim.1 . . . . . 6
36 0cn 9609 . . . . . 6
37 rlimconst 13367 . . . . . 6
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . 5
3938a1d 25 . . . 4
40 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
41 sstr 3511 . . . . . . . . . 10
4240, 41mpan 670 . . . . . . . . 9
4342imim1i 58 . . . . . . . 8
44 sumex 13510 . . . . . . . . . . . . . 14
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
46 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4746unssbd 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948snss 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5047, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352anass1rs 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5553, 54rlimmptrcl 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5655an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6059nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6261eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6360, 62rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6451, 58, 63sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7168, 70rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . 15
7266, 71mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14
73 elex 3118 . . . . . . . . . . . . . 14
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
75 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7876, 77nfsum 13513 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079sumeq2sdv 13526 . . . . . . . . . . . . . . 15
8175, 78, 80cbvmpt 4542 . . . . . . . . . . . . . 14
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
8381, 82syl5eqbrr 4486 . . . . . . . . . . . . 13
84 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584, 67, 69cbvmpt 4542 . . . . . . . . . . . . . 14
8654ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
88 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988, 59nfmpt 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9289, 90, 91nfbr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9361mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 94breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9692, 95rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9750, 87, 96sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
9985, 98syl5eqbrr 4486 . . . . . . . . . . . . 13
10045, 74, 83, 99rlimadd 13465 . . . . . . . . . . . 12
101 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103101, 102sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1062adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108106, 46, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11046sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112111, 57syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113104, 105, 109, 112fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117114, 115, 116cbvsumi 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119118sumsn 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12051, 64, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121117, 120syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123113, 122eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . . . . . 14
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
126 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14
127 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
12878, 127, 67nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . 14
12980, 69oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
130126, 128, 129cbvmpt 4542 . . . . . . . . . . . . 13
131125, 130syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
132 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15
133 rlimcl 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13454, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136110, 135syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
137103, 132, 108, 136fsumsplit 13562 . . . . . . . . . . . . . 14
138 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141138, 139, 140cbvsumi 13519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142135ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14391nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14494eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145143, 144rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14650, 142, 145sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148147sumsn 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14950, 146, 148syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150141, 149syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15
151150oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
152137, 151eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
153152adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
154100, 131, 1533brtr4d 4482 . . . . . . . . . . 11
155154ex 434 . . . . . . . . . 10
156155expr 615 . . . . . . . . 9
157156a2d 26 . . . . . . . 8
15843, 157syl5 32 . . . . . . 7
159158expcom 435 . . . . . 6
160159a2d 26 . . . . 5
161160adantl 466 . . . 4
16213, 20, 27, 34, 39, 161findcard2s 7781 . . 3
1632, 162mpcom 36 . 2
1641, 163mpi 17 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   crli 13308  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  climfsum  13634  logexprlim  23500  signsplypnf  28507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
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