Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumser Unicode version

Theorem fsumser 13552
 Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition of follows as fsum1 13564 and fsump1i 13584, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 13555, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumser.1
fsumser.2
fsumser.3
Assertion
Ref Expression
fsumser
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem fsumser
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2529 . . . . . 6
2 fveq2 5871 . . . . . 6
31, 2ifbieq1d 3964 . . . . 5
4 eqid 2457 . . . . 5
5 fvex 5881 . . . . . 6
6 c0ex 9611 . . . . . 6
75, 6ifex 4010 . . . . 5
83, 4, 7fvmpt 5956 . . . 4
9 fsumser.1 . . . . 5
109ifeq1da 3971 . . . 4
118, 10sylan9eqr 2520 . . 3
12 fsumser.2 . . 3
13 fsumser.3 . . 3
14 ssid 3522 . . . 4
1514a1i 11 . . 3
1611, 12, 13, 15fsumsers 13550 . 2
17 elfzuz 11713 . . . . . 6
1817, 8syl 16 . . . . 5
19 iftrue 3947 . . . . 5
2018, 19eqtrd 2498 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  ifcif 3941  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  isumclim3  13574  seqabs  13628  cvgcmpce  13632  isumsplit  13652  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  climcnds  13663  trireciplem  13673  geolim  13679  geo2lim  13684  mertenslem2  13694  mertens  13695  efcvgfsum  13821  effsumlt  13846  prmreclem6  14439  prmrec  14440  ovollb2lem  21899  ovoliunlem1  21913  ovoliun2  21917  ovolscalem1  21924  ovolicc2lem4  21931  uniioovol  21988  uniioombllem3  21994  uniioombllem6  21997  mtest  22799  mtestbdd  22800  psercn2  22818  pserdvlem2  22823  abelthlem6  22831  logfac  22985  emcllem5  23329  basellem8  23361  prmorcht  23452  pclogsum  23490  dchrisumlem2  23675  dchrmusum2  23679  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0re  23698  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  esumpcvgval  28084  esumcvg  28092  lgamcvg2  28597  sumnnodd  31636  fourierdlem112  32001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509