MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Unicode version

Theorem fsumsplit 13562
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1
fsumsplit.2
fsumsplit.3
fsumsplit.4
Assertion
Ref Expression
fsumsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 3666 . . . . 5
2 fsumsplit.2 . . . . 5
31, 2syl5sseqr 3552 . . . 4
43sselda 3503 . . . . . 6
5 fsumsplit.4 . . . . . 6
64, 5syldan 470 . . . . 5
76ralrimiva 2871 . . . 4
8 fsumsplit.3 . . . . 5
98olcd 393 . . . 4
10 sumss2 13548 . . . 4
113, 7, 9, 10syl21anc 1227 . . 3
12 ssun2 3667 . . . . 5
1312, 2syl5sseqr 3552 . . . 4
1413sselda 3503 . . . . . 6
1514, 5syldan 470 . . . . 5
1615ralrimiva 2871 . . . 4
17 sumss2 13548 . . . 4
1813, 16, 9, 17syl21anc 1227 . . 3
1911, 18oveq12d 6314 . 2
20 0cn 9609 . . . 4
21 ifcl 3983 . . . 4
225, 20, 21sylancl 662 . . 3
23 ifcl 3983 . . . 4
245, 20, 23sylancl 662 . . 3
258, 22, 24fsumadd 13561 . 2
262eleq2d 2527 . . . . . 6
27 elun 3644 . . . . . 6
2826, 27syl6bb 261 . . . . 5
2928biimpa 484 . . . 4
30 iftrue 3947 . . . . . . . 8
3130adantl 466 . . . . . . 7
32 noel 3788 . . . . . . . . . . 11
33 elin 3686 . . . . . . . . . . . 12
34 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13
3534eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
3633, 35syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . 11
3732, 36mtbii 302 . . . . . . . . . 10
38 imnan 422 . . . . . . . . . 10
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . 9
4039imp 429 . . . . . . . 8
4140iffalsed 3952 . . . . . . 7
4231, 41oveq12d 6314 . . . . . 6
436addid1d 9801 . . . . . 6
4442, 43eqtrd 2498 . . . . 5
4539con2d 115 . . . . . . . . 9
4645imp 429 . . . . . . . 8
4746iffalsed 3952 . . . . . . 7
48 iftrue 3947 . . . . . . . 8
4948adantl 466 . . . . . . 7
5047, 49oveq12d 6314 . . . . . 6
5115addid2d 9802 . . . . . 6
5250, 51eqtrd 2498 . . . . 5
5344, 52jaodan 785 . . . 4
5429, 53syldan 470 . . 3
5554sumeq2dv 13525 . 2
5619, 25, 553eqtr2rd 2505 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cuz 11110  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumm1  13566  fsum1p  13568  fsumsplitsnun  13570  fsum2dlem  13585  fsumless  13610  fsumabs  13615  fsumrlim  13625  fsumo1  13626  o1fsum  13627  cvgcmpce  13632  fsumiun  13635  incexclem  13648  incexc  13649  isumltss  13660  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  mertenslem1  13693  bitsinv1  14092  bitsinvp1  14099  sylow2a  16639  fsumcn  21374  ovolfiniun  21912  volfiniun  21957  uniioombllem3  21994  itgfsum  22233  dvmptfsum  22376  vieta1lem2  22707  mtest  22799  birthdaylem2  23282  fsumharmonic  23341  ftalem5  23350  chtprm  23427  chtdif  23432  perfectlem2  23505  lgsquadlem2  23630  dchrisumlem1  23674  dchrisumlem2  23675  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem3  23704  pntrsumbnd2  23752  pntrlog2bndlem6  23768  pntpbnd2  23772  pntlemf  23790  axlowdimlem16  24260  axlowdimlem17  24261  sumpr  27769  signsplypnf  28507  jm2.22  30937  jm2.23  30938  sumpair  31410  fsumsplitf  31568  sumnnodd  31636  stoweidlem11  31793  stoweidlem26  31808  stoweidlem44  31826  fsumsplitsndif  32346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator