Theorem fsumss 13547

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1
sumss.2
sumss.3
fsumss.4

Assertion

Ref	Expression
fsumss

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsumss

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumss.1	. . . . 5
2	1	adantr 465	. . . 4
3		sumss.2	. . . . 5
4	3	adantlr 714	. . . 4
5		sumss.3	. . . . 5
6	5	adantlr 714	. . . 4
7		simpr 461	. . . . 5
8		0ss 3814	. . . . 5
9	7, 8	syl6eqss 3553	. . . 4
10	2, 4, 6, 9	sumss 13546	. . 3
11	10	ex 434	. 2
12		cnvimass 5362	. . . . . . . . 9
13		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
14		f1of 5821	. . . . . . . . . . 11
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10
16		fdm 5740	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9
18	12, 17	syl5sseq 3551	. . . . . . . 8
19		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . 13
20	15, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
21		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . 12
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11
23	15	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
25	24	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11
26	22, 25	sylbid 215	. . . . . . . . . 10
27	26	imp 429	. . . . . . . . 9
28	3	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
30		eldif 3485	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		0cn 9609	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	5, 31	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	30, 32	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13
35	29, 34	pm2.61d 158	. . . . . . . . . . . 12
36		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	fmptd 6055	. . . . . . . . . . 11
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10
39	38	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . 9
40	27, 39	syldan 470	. . . . . . . 8
41		eldifi 3625	. . . . . . . . . . . 12
42	41, 23	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
43		eldifn 3626	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
45	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
46	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13
48	45, 47	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . 12
49	44, 48	mtbid 300	. . . . . . . . . . 11
50	42, 49	eldifd 3486	. . . . . . . . . 10
51		difss 3630	. . . . . . . . . . . . 13
52		resmpt 5328	. . . . . . . . . . . . 13
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
54	53	fveq1i 5872	. . . . . . . . . . 11
55		fvres 5885	. . . . . . . . . . 11
56	54, 55	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . 10
57	50, 56	syl 16	. . . . . . . . 9
58		c0ex 9611	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	elsnc2 4060	. . . . . . . . . . . . . 14
60	5, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13
61		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13
62	60, 61	fmptd 6055	. . . . . . . . . . . 12
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
64	63, 50	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
65		elsni 4054	. . . . . . . . . 10
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . 9
67	57, 66	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
68		fzssuz 11753	. . . . . . . . 9
69	68	a1i 11	. . . . . . . 8
70	18, 40, 67, 69	sumss 13546	. . . . . . 7
71	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
72	71	resmptd 5330	. . . . . . . . . . 11
73	72	fveq1d 5873	. . . . . . . . . 10
74		fvres 5885	. . . . . . . . . . 11
75	74	adantl 466	. . . . . . . . . 10
76	73, 75	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9
77	76	sumeq2dv 13525	. . . . . . . 8
78		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
79		fzfid 12083	. . . . . . . . . 10
80	79, 15	fisuppfi 7857	. . . . . . . . 9
81		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . 12
82	13, 81	syl 16	. . . . . . . . . . 11
83		f1ores 5835	. . . . . . . . . . 11
84	82, 18, 83	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
85		f1ofo 5828	. . . . . . . . . . . . 13
86	13, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
87	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
88		foimacnv 5838	. . . . . . . . . . . 12
89	86, 87, 88	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
90		f1oeq3 5814	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . . 10
92	84, 91	mpbid 210	. . . . . . . . 9
93		fvres 5885	. . . . . . . . . 10
94	93	adantl 466	. . . . . . . . 9
95	87	sselda 3503	. . . . . . . . . 10
96	38	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
97	95, 96	syldan 470	. . . . . . . . 9
98	78, 80, 92, 94, 97	fsumf1o 13545	. . . . . . . 8
99	77, 98	eqtrd 2498	. . . . . . 7
100		eqidd 2458	. . . . . . . 8
101	78, 79, 13, 100, 96	fsumf1o 13545	. . . . . . 7
102	70, 99, 101	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
103		sumfc 13531	. . . . . 6
104		sumfc 13531	. . . . . 6
105	102, 103, 104	3eqtr3g 2521	. . . . 5
106	105	expr 615	. . . 4
107	106	exlimdv 1724	. . 3
108	107	expimpd 603	. 2
109		fsumss.4	. . 3
110		fz1f1o 13532	. . 3
111	109, 110	syl 16	. 2
112	11, 108, 111	mpjaod 381	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  cn 10561  cuz 11110  cfz 11701  chash 12405  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  sumss2  13548  rrxmval  21832  rrxmetlem  21834  itg1val2  22091  itg1addlem4  22106  itg1addlem5  22107  ply1termlem  22600  plyaddlem1  22610  plymullem1  22611  coeeulem  22621  coeidlem  22634  coeid3  22637  coefv0  22645  coemulhi  22651  coemulc  22652  dvply1  22680  vieta1lem2  22707  dvtaylp  22765  pserdvlem2  22823  basellem3  23356  musum  23467  muinv  23469  fsumvma  23488  chpub  23495  logexprlim  23500  dchrsum  23544  chebbnd1lem1  23654  rpvmasumlem  23672  dchrisum0fno1  23696  rplogsum  23712  indsum  28036  eulerpartlemgs2  28319  flcidc  31123  elaa2lem  32016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509