MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Unicode version

Theorem fsumsub 13603
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1
fsumneg.2
fsumsub.3
Assertion
Ref Expression
fsumsub
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4
2 fsumneg.2 . . . 4
3 fsumsub.3 . . . . 5
43negcld 9941 . . . 4
51, 2, 4fsumadd 13561 . . 3
61, 3fsumneg 13602 . . . 4
76oveq2d 6312 . . 3
85, 7eqtrd 2498 . 2
92, 3negsubd 9960 . . 3
109sumeq2dv 13525 . 2
111, 2fsumcl 13555 . . 3
121, 3fsumcl 13555 . . 3
1311, 12negsubd 9960 . 2
148, 10, 133eqtr3d 2506 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828  -ucneg 9829  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  fsumle  13613  fsumlt  13614  telfsumo  13616  fsumparts  13620  mertens  13695  3dvds  14050  pcfac  14418  pcbc  14419  ramcl  14547  ovolicc2lem4  21931  dvfsumabs  22424  coeeulem  22621  birthdaylem2  23282  emcllem5  23329  chpub  23495  logfaclbnd  23497  lgsquadlem1  23629  vmadivsum  23667  rpvmasumlem  23672  dchrmusum2  23679  dchrvmasumiflem2  23687  rpvmasum2  23697  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  rplogsum  23712  mulogsumlem  23716  mulogsum  23717  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  mulog2sumlem3  23721  vmalogdivsum2  23723  vmalogdivsum  23724  2vmadivsumlem  23725  logsqvma  23727  selberglem1  23730  selberg3lem1  23742  selberg4lem1  23745  pntrsumo1  23750  selbergr  23753  selberg3r  23754  selberg4r  23755  selberg34r  23756  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntlemo  23792  ax5seglem9  24240  lgamcvg2  28597  bpolydiflem  29816  etransclem46  32063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator