MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Unicode version

Theorem fsuppco 7881
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f
fsuppco.g
fsuppco.z
fsuppco.v
Assertion
Ref Expression
fsuppco

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5
2 fsuppco.g . . . . . 6
3 df-f1 5598 . . . . . . 7
43simprbi 464 . . . . . 6
52, 4syl 16 . . . . 5
6 cofunex2g 6765 . . . . 5
71, 5, 6syl2anc 661 . . . 4
8 fsuppco.z . . . 4
9 suppimacnv 6929 . . . 4
107, 8, 9syl2anc 661 . . 3
11 suppimacnv 6929 . . . . . 6
121, 8, 11syl2anc 661 . . . . 5
13 fsuppco.f . . . . . 6
1413fsuppimpd 7856 . . . . 5
1512, 14eqeltrrd 2546 . . . 4
1615, 2fsuppcolem 7880 . . 3
1710, 16eqeltrd 2545 . 2
18 fsuppimp 7855 . . . . . 6
1918simpld 459 . . . . 5
2013, 19syl 16 . . . 4
21 f1fun 5788 . . . . 5
222, 21syl 16 . . . 4
23 funco 5631 . . . 4
2420, 22, 23syl2anc 661 . . 3
25 funisfsupp 7854 . . 3
2624, 7, 8, 25syl3anc 1228 . 2
2717, 26mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  7884  mapfienlem2  7885  coe1sfi  18252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-fsupp 7850
  Copyright terms: Public domain W3C validator