MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco2 Unicode version

Theorem fsuppco2 7882
Description: The composition of a function which maps the zero to zero with a finitely supported function is finitely supported. This is not only a special case of fsuppcor 7883 because it does not require that the "zero" is an element of the range of the finitely supported function. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco2.z
fsuppco2.f
fsuppco2.g
fsuppco2.a
fsuppco2.b
fsuppco2.n
fsuppco2.i
Assertion
Ref Expression
fsuppco2

Proof of Theorem fsuppco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsuppco2.g . . . 4
2 ffun 5738 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 fsuppco2.f . . . 4
5 ffun 5738 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
7 funco 5631 . . 3
83, 6, 7syl2anc 661 . 2
9 fsuppco2.n . . . 4
109fsuppimpd 7856 . . 3
11 fco 5746 . . . . 5
121, 4, 11syl2anc 661 . . . 4
13 eldifi 3625 . . . . . 6
14 fvco3 5950 . . . . . 6
154, 13, 14syl2an 477 . . . . 5
16 ssid 3522 . . . . . . . 8
1716a1i 11 . . . . . . 7
18 fsuppco2.a . . . . . . 7
19 fsuppco2.z . . . . . . 7
204, 17, 18, 19suppssr 6950 . . . . . 6
2120fveq2d 5875 . . . . 5
22 fsuppco2.i . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
2415, 21, 233eqtrd 2502 . . . 4
2512, 24suppss 6949 . . 3
26 ssfi 7760 . . 3
2710, 25, 26syl2anc 661 . 2
28 fsuppco2.b . . . . 5
29 fex 6145 . . . . 5
301, 28, 29syl2anc 661 . . . 4
31 fex 6145 . . . . 5
324, 18, 31syl2anc 661 . . . 4
33 coexg 6751 . . . 4
3430, 32, 33syl2anc 661 . . 3
35 isfsupp 7853 . . 3
3634, 19, 35syl2anc 661 . 2
378, 27, 36mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849
This theorem is referenced by:  gsumzinv  16969  gsumsub  16974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850
  Copyright terms: Public domain W3C validator