Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiub Unicode version

Theorem fsuppmapnn0fiub 12097
 Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u
fsuppmapnn0fiub.s
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub
Distinct variable groups:   ,M   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . . 4
2 nfra1 2838 . . . . 5
3 nfv 1707 . . . . 5
42, 3nfan 1928 . . . 4
51, 4nfan 1928 . . 3
6 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . 11
7 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . 13
8 elmapfn 7461 . . . . . . . . . . . . 13
9 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . 14
10 eqimss 3555 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
127, 8, 113syl 20 . . . . . . . . . . . 12
13123ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . 11
146, 13syl5ss 3514 . . . . . . . . . 10
1514sseld 3502 . . . . . . . . 9
1615adantlr 714 . . . . . . . 8
1716imp 429 . . . . . . 7
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12096 . . . . . . . . 9
2120imp 429 . . . . . . . 8
2221ad2antrr 725 . . . . . . 7
237, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25243ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 nn0ssre 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28syl6eqss 3553 . . . . . . . . . . . . . 14
306, 29syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . . 13
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12
325, 31ralrimi 2857 . . . . . . . . . . 11
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
34 iunss 4371 . . . . . . . . . 10
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9
3618, 35syl5eqss 3547 . . . . . . . 8
37 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938fsuppimpd 7856 . . . . . . . . . . . . . 14
4039ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4237, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
44 iunfi 7828 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4618, 45syl5eqel 2549 . . . . . . . 8
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
4948eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
5147, 50rspcedv 3214 . . . . . . . . . . 11
5251imp 429 . . . . . . . . . 10
53 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
5453eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
5554cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
5652, 55sylibr 212 . . . . . . . . 9
5718eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
58 eliun 4335 . . . . . . . . . 10
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . 9
6056, 59sylibr 212 . . . . . . . 8
6119a1i 11 . . . . . . . 8
6236, 46, 60, 61supfirege 10550 . . . . . . 7
63 elfz2nn0 11798 . . . . . . 7
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1180 . . . . . 6
6564ex 434 . . . . 5
6665ssrdv 3509 . . . 4
6766ex 434 . . 3
685, 67ralrimi 2857 . 2
6968ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  domcdm 5004  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296   csupp 6918   cmap 7439   cfn 7536   cfsupp 7849  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cfz 11701 This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
 Copyright terms: Public domain W3C validator