Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiubex Unicode version

Theorem fsuppmapnn0fiubex 12098
 Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex
Distinct variable groups:   ,M,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10835 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 oveq2 6304 . . . . . . . 8
43sseq2d 3531 . . . . . . 7
54ralbidv 2896 . . . . . 6
65adantl 466 . . . . 5
7 ral0 3934 . . . . . . 7
8 raleq 3054 . . . . . . 7
97, 8mpbii 211 . . . . . 6
10 0ss 3814 . . . . . . . 8
11 sseq1 3524 . . . . . . . 8
1210, 11mpbiri 233 . . . . . . 7
1312ralimi 2850 . . . . . 6
149, 13jaoi 379 . . . . 5
152, 6, 14rspcedvd 3215 . . . 4
1615a1d 25 . . 3
1716a1dd 46 . 2
18 simplr 755 . . . . 5
19 simpr 461 . . . . . 6
20 ioran 490 . . . . . . . . . 10
21 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
2221eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
2322cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . 12
2423notbii 296 . . . . . . . . . . 11
2524anbi2i 694 . . . . . . . . . 10
2620, 25bitri 249 . . . . . . . . 9
27 rexnal 2905 . . . . . . . . . . 11
28 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
2928bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13
3029rexbii 2959 . . . . . . . . . . . 12
3130biimpi 194 . . . . . . . . . . 11
3227, 31sylbir 213 . . . . . . . . . 10
3332adantl 466 . . . . . . . . 9
3426, 33sylbi 195 . . . . . . . 8
3534ad2antrr 725 . . . . . . 7
36 iunn0 4390 . . . . . . 7
3735, 36sylib 196 . . . . . 6
3819, 37jca 532 . . . . 5
39 oveq1 6303 . . . . . . 7
4039cbviunv 4369 . . . . . 6
41 eqid 2457 . . . . . 6
4240, 41fsuppmapnn0fiublem 12096 . . . . 5
4318, 38, 42sylc 60 . . . 4
44 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
45 nfra1 2838 . . . . . . . . . 10
4644, 45nfor 1935 . . . . . . . . 9
4746nfn 1901 . . . . . . . 8
48 nfv 1707 . . . . . . . 8
4947, 48nfan 1928 . . . . . . 7
50 nfra1 2838 . . . . . . 7
5149, 50nfan 1928 . . . . . 6
52 nfv 1707 . . . . . 6
5351, 52nfan 1928 . . . . 5
54 oveq2 6304 . . . . . . 7
5554sseq2d 3531 . . . . . 6
5655adantl 466 . . . . 5
5753, 56ralbid 2891 . . . 4
58 rexnal 2905 . . . . . . . . . . 11
59 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
6059bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13
6160rexbii 2959 . . . . . . . . . . . 12
6261biimpi 194 . . . . . . . . . . 11
6358, 62sylbir 213 . . . . . . . . . 10
6463adantl 466 . . . . . . . . 9
6520, 64sylbi 195 . . . . . . . 8
6665ad2antrr 725 . . . . . . 7
67 iunn0 4390 . . . . . . . 8
6821cbviunv 4369 . . . . . . . . 9
6968neeq1i 2742 . . . . . . . 8
7067, 69bitri 249 . . . . . . 7
7166, 70sylib 196 . . . . . 6
7219, 71jca 532 . . . . 5
7340, 41fsuppmapnn0fiub 12097 . . . . 5
7418, 72, 73sylc 60 . . . 4
7543, 57, 74rspcedvd 3215 . . 3
7675exp31 604 . 2
7717, 76pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   csupp 6918   cmap 7439   cfn 7536   cfsupp 7849  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513   clt 9649   cn0 10820   cfz 11701 This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
 Copyright terms: Public domain W3C validator