Theorem fsuppmapnn0fiublem 12096

Description: Lemma for fsuppmapnn0fiub 12097 and fsuppmapnn0fiubex 12098. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u
fsuppmapnn0fiub.s

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiublem

Distinct variable groups:   ,M   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiub.u	. . . 4
2		nfv 1707	. . . . . . 7
3		nfra1 2838	. . . . . . . 8
4		nfv 1707	. . . . . . . 8
5	3, 4	nfan 1928	. . . . . . 7
6	2, 5	nfan 1928	. . . . . 6
7		suppssdm 6931	. . . . . . . 8
8		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . . 13
9		elmapfn 7461	. . . . . . . . . . . . 13
10		fndm 5685	. . . . . . . . . . . . . 14
11		eqimss 3555	. . . . . . . . . . . . . 14
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
13	8, 9, 12	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
14	13	ex 434	. . . . . . . . . . 11
15	14	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
16	15	adantr 465	. . . . . . . . 9
17	16	imp 429	. . . . . . . 8
18	7, 17	syl5ss 3514	. . . . . . 7
19	18	ex 434	. . . . . 6
20	6, 19	ralrimi 2857	. . . . 5
21		iunss 4371	. . . . 5
22	20, 21	sylibr 212	. . . 4
23	1, 22	syl5eqss 3547	. . 3
24		ltso 9686	. . . . 5
25	24	a1i 11	. . . 4
26		simp2 997	. . . . . 6
27		id 22	. . . . . . . . 9
28	27	fsuppimpd 7856	. . . . . . . 8
29	28	ralimi 2850	. . . . . . 7
30	29	adantr 465	. . . . . 6
31		iunfi 7828	. . . . . 6
32	26, 30, 31	syl2an 477	. . . . 5
33	1, 32	syl5eqel 2549	. . . 4
34		simprr 757	. . . 4
35	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
37	36	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10
39	38	imp 429	. . . . . . . . 9
40		nn0ssre 10824	. . . . . . . . 9
41	39, 40	syl6eqss 3553	. . . . . . . 8
42	7, 41	syl5ss 3514	. . . . . . 7
43	42	ex 434	. . . . . 6
44	6, 43	ralrimi 2857	. . . . 5
45	1	sseq1i 3527	. . . . . 6
46		iunss 4371	. . . . . 6
47	45, 46	bitri 249	. . . . 5
48	44, 47	sylibr 212	. . . 4
49		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . 5
50		fisupcl 7948	. . . . 5
51	49, 50	syl5eqel 2549	. . . 4
52	25, 33, 34, 48, 51	syl13anc 1230	. . 3
53	23, 52	sseldd 3504	. 2
54	53	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Orwor 4804  domcdm 5004  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296  csupp 6918  cmap 7439  cfn 7536  cfsupp 7849  supcsup 7920  cr 9512  clt 9649  cn0 10820

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  12097  fsuppmapnn0fiubex  12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-n0 10821