Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppun Unicode version

Theorem fsuppun 7868
 Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f
fsuppun.g
Assertion
Ref Expression
fsuppun

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 5416 . . . . . . 7
21imaeq1i 5339 . . . . . 6
3 imaundir 5424 . . . . . 6
42, 3eqtri 2486 . . . . 5
5 unexb 6600 . . . . . . . . . . 11
6 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
75, 6sylbir 213 . . . . . . . . . 10
8 suppimacnv 6929 . . . . . . . . . 10
97, 8sylan 471 . . . . . . . . 9
109eqcomd 2465 . . . . . . . 8
1110adantr 465 . . . . . . 7
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9
1312fsuppimpd 7856 . . . . . . . 8
1413adantl 466 . . . . . . 7
1511, 14eqeltrd 2545 . . . . . 6
16 simpr 461 . . . . . . . . . 10
175, 16sylbir 213 . . . . . . . . 9
18 suppimacnv 6929 . . . . . . . . . 10
1918eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
2017, 19sylan 471 . . . . . . . 8
2120adantr 465 . . . . . . 7
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9
2322fsuppimpd 7856 . . . . . . . 8
2423adantl 466 . . . . . . 7
2521, 24eqeltrd 2545 . . . . . 6
26 unfi 7807 . . . . . 6
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . 5
284, 27syl5eqel 2549 . . . 4
29 suppimacnv 6929 . . . . . 6
3029eleq1d 2526 . . . . 5
3130adantr 465 . . . 4
3228, 31mpbird 232 . . 3
3332ex 434 . 2
34 supp0prc 6921 . . . 4
35 0fin 7767 . . . 4
3634, 35syl6eqel 2553 . . 3
3736a1d 25 . 2
3833, 37pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  "`cima 5007  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849 This theorem is referenced by:  fsuppunbi  7870  gsumzaddlem  16934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850
 Copyright terms: Public domain W3C validator