Theorem fsuppun 7868

Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppun.f
fsuppun.g

Assertion

Ref	Expression
fsuppun

Proof of Theorem fsuppun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 5416	. . . . . . 7
2	1	imaeq1i 5339	. . . . . 6
3		imaundir 5424	. . . . . 6
4	2, 3	eqtri 2486	. . . . 5
5		unexb 6600	. . . . . . . . . . 11
6		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
7	5, 6	sylbir 213	. . . . . . . . . 10
8		suppimacnv 6929	. . . . . . . . . 10
9	7, 8	sylan 471	. . . . . . . . 9
10	9	eqcomd 2465	. . . . . . . 8
11	10	adantr 465	. . . . . . 7
12		fsuppun.f	. . . . . . . . 9
13	12	fsuppimpd 7856	. . . . . . . 8
14	13	adantl 466	. . . . . . 7
15	11, 14	eqeltrd 2545	. . . . . 6
16		simpr 461	. . . . . . . . . 10
17	5, 16	sylbir 213	. . . . . . . . 9
18		suppimacnv 6929	. . . . . . . . . 10
19	18	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
20	17, 19	sylan 471	. . . . . . . 8
21	20	adantr 465	. . . . . . 7
22		fsuppun.g	. . . . . . . . 9
23	22	fsuppimpd 7856	. . . . . . . 8
24	23	adantl 466	. . . . . . 7
25	21, 24	eqeltrd 2545	. . . . . 6
26		unfi 7807	. . . . . 6
27	15, 25, 26	syl2anc 661	. . . . 5
28	4, 27	syl5eqel 2549	. . . 4
29		suppimacnv 6929	. . . . . 6
30	29	eleq1d 2526	. . . . 5
31	30	adantr 465	. . . 4
32	28, 31	mpbird 232	. . 3
33	32	ex 434	. 2
34		supp0prc 6921	. . . 4
35		0fin 7767	. . . 4
36	34, 35	syl6eqel 2553	. . 3
37	36	a1d 25	. 2
38	33, 37	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  (class class class)co 6296  csupp 6918  cfn 7536  cfsupp 7849

This theorem is referenced by:  fsuppunbi  7870  gsumzaddlem  16934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850