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Theorem fsuppunbi 7870
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 7851 . . . . 5
2 brrelex12 5042 . . . . 5
31, 2mpan 670 . . . 4
4 unexb 6600 . . . . 5
5 fsuppimp 7855 . . . . . . 7
6 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
76adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . 13
98suppun 6939 . . . . . . . . . . . 12
10 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . 12
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
12 fununfun 5637 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
16 simprll 763 . . . . . . . . . . . 12
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
19 funisfsupp 7854 . . . . . . . . . . . 12
2015, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2111, 20mpbird 232 . . . . . . . . . 10
22 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423eleq1i 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2816suppun 6939 . . . . . . . . . . . 12
29 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3112simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
34 funisfsupp 7854 . . . . . . . . . . . 12
3533, 8, 18, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
3630, 35mpbird 232 . . . . . . . . . 10
3721, 36jca 532 . . . . . . . . 9
3837a1d 25 . . . . . . . 8
3938ex 434 . . . . . . 7
405, 39syl 16 . . . . . 6
4140com12 31 . . . . 5
424, 41sylanbr 473 . . . 4
433, 42mpcom 36 . . 3
4443com12 31 . 2
45 simpl 457 . . . . . 6
46 simpr 461 . . . . . 6
4745, 46fsuppun 7868 . . . . 5
4847adantl 466 . . . 4
49 fsuppunbi.u . . . . . 6
5049adantr 465 . . . . 5
511brrelexi 5045 . . . . . . 7
521brrelexi 5045 . . . . . . 7
53 unexg 6601 . . . . . . 7
5451, 52, 53syl2an 477 . . . . . 6
5554adantl 466 . . . . 5
561brrelex2i 5046 . . . . . . 7
5756adantr 465 . . . . . 6
5857adantl 466 . . . . 5
59 funisfsupp 7854 . . . . 5
6050, 55, 58, 59syl3anc 1228 . . . 4
6148, 60mpbird 232 . . 3
6261ex 434 . 2
6344, 62impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Relwrel 5009  Funwfun 5587  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  7873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850
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