MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Unicode version

Theorem ftalem2 22152
Description: Lemma for fta 22158. There exists some such that has magnitude greater than (0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1
ftalem.2
ftalem.3
ftalem.4
ftalem2.5
ftalem2.6
Assertion
Ref Expression
ftalem2
Distinct variable groups:   , , ,   N, , ,   , , ,   , ,   S,   , ,   , ,

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3
2 ftalem.2 . . 3
3 ftalem.3 . . 3
4 ftalem.4 . . 3
51coef3 21441 . . . . . . 7
63, 5syl 16 . . . . . 6
74nnnn0d 10581 . . . . . 6
86, 7ffvelrnd 5814 . . . . 5
94nnne0d 10312 . . . . . 6
102, 1dgreq0 21473 . . . . . . . . 9
11 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11
12 dgr0 21470 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
142, 13syl5eq 2466 . . . . . . . . 9
1510, 14syl6bir 223 . . . . . . . 8
163, 15syl 16 . . . . . . 7
1716necon3d 2625 . . . . . 6
189, 17mpd 15 . . . . 5
198, 18absrpcld 12875 . . . 4
2019rphalfcld 10984 . . 3
21 fveq2 5661 . . . . . 6
2221fveq2d 5665 . . . . 5
2322cbvsumv 13114 . . . 4
2423oveq1i 6071 . . 3
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 22151 . 2
26 ftalem2.5 . . . . . 6
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9
28 plyf 21407 . . . . . . . . . . . . 13
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12
30 0cn 9324 . . . . . . . . . . . 12
31 ffvelrn 5811 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 31sylancl 647 . . . . . . . . . . 11
3332abscld 12863 . . . . . . . . . 10
3433, 20rerpdivcld 10999 . . . . . . . . 9
3527, 34syl5eqel 2506 . . . . . . . 8
3635adantr 455 . . . . . . 7
37 simpr 451 . . . . . . . 8
38 1re 9331 . . . . . . . 8
39 ifcl 3808 . . . . . . . 8
4037, 38, 39sylancl 647 . . . . . . 7
41 ifcl 3808 . . . . . . 7
4236, 40, 41syl2anc 646 . . . . . 6
4326, 42syl5eqel 2506 . . . . 5
44 0red 9333 . . . . . 6
45 1red 9347 . . . . . 6
46 0lt1 9808 . . . . . . 7
4746a1i 11 . . . . . 6
48 max1 11102 . . . . . . . 8
4938, 37, 48sylancr 648 . . . . . . 7
50 max1 11102 . . . . . . . . 9
5140, 36, 50syl2anc 646 . . . . . . . 8
5251, 26syl6breqr 4307 . . . . . . 7
5345, 40, 43, 49, 52letrd 9474 . . . . . 6
5444, 45, 43, 47, 53ltletrd 9477 . . . . 5
5543, 54elrpd 10970 . . . 4
56 max2 11104 . . . . . . . . . . 11
5738, 37, 56sylancr 648 . . . . . . . . . 10
5837, 40, 43, 57, 52letrd 9474 . . . . . . . . 9
5958adantr 455 . . . . . . . 8
6037adantr 455 . . . . . . . . 9
6143adantr 455 . . . . . . . . 9
62 abscl 12708 . . . . . . . . . 10
6362adantl 456 . . . . . . . . 9
64 lelttr 9411 . . . . . . . . 9
6560, 61, 63, 64syl3anc 1203 . . . . . . . 8
6659, 65mpand 660 . . . . . . 7
6766imim1d 72 . . . . . 6
6829ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simprl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
7068, 69ffvelrnd 5814 . . . . . . . . . . . . . 14
718ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
727ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7369, 72expcld 11949 . . . . . . . . . . . . . . 15
7471, 73mulcld 9352 . . . . . . . . . . . . . 14
7570, 74subcld 9665 . . . . . . . . . . . . 13
7675abscld 12863 . . . . . . . . . . . 12
7774abscld 12863 . . . . . . . . . . . . 13
7877rehalfcld 10517 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78, 77ltsub2d 9895 . . . . . . . . . . 11
8071, 73absmuld 12881 . . . . . . . . . . . . . . 15
8169, 72absexpd 12879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15
8380, 82eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
8483oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . 13
8571abscld 12863 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
8763adantrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887, 72reexpcld 11966 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
90 2cnd 10340 . . . . . . . . . . . . . 14
91 2ne0 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9386, 89, 90, 92div23d 10090 . . . . . . . . . . . . 13
9484, 93eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . 12
9594breq2d 4279 . . . . . . . . . . 11
9677recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15
97962halvesd 10516 . . . . . . . . . . . . . 14
9897oveq1d 6076 . . . . . . . . . . . . 13
9978recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
10099, 99pncand 9666 . . . . . . . . . . . . 13
10198, 100eqtr3d 2456 . . . . . . . . . . . 12
102101breq1d 4277 . . . . . . . . . . 11
10379, 95, 1023bitr3d 277 . . . . . . . . . 10
10474, 70subcld 9665 . . . . . . . . . . . . 13
10574, 104abs2difd 12884 . . . . . . . . . . . 12
10674, 70abssubd 12880 . . . . . . . . . . . . 13
107106oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . 12
10874, 70nncand 9670 . . . . . . . . . . . . 13
109108fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12
110105, 107, 1093brtr3d 4296 . . . . . . . . . . 11
11177, 76resubcld 9722 . . . . . . . . . . . 12
11270abscld 12863 . . . . . . . . . . . 12
113 ltletr 9412 . . . . . . . . . . . 12
11478, 111, 112, 113syl3anc 1203 . . . . . . . . . . 11
115110, 114mpan2d 659 . . . . . . . . . 10
116103, 115sylbid 209 . . . . . . . . 9
11733ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . 12
11820ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14
119118rpred 10972 . . . . . . . . . . . . 13
120119, 87remulcld 9360 . . . . . . . . . . . 12
12194, 78eqeltrrd 2497 . . . . . . . . . . . 12
12236adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
12343adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 max2 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12540, 36, 124syl2anc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126125, 26syl6breqr 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 simprr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
129122, 123, 87, 127, 128lelttrd 9475 . . . . . . . . . . . . . 14
13027, 129syl5eqbrr 4301 . . . . . . . . . . . . 13
131117, 87, 118ltdivmuld 11019 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131mpbid 204 . . . . . . . . . . . 12
13387recnd 9358 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133exp1d 11944 . . . . . . . . . . . . . 14
135 1red 9347 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13653adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137135, 123, 87, 136, 128lelttrd 9475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138135, 87, 137ltled 9468 . . . . . . . . . . . . . . 15
1394ad2antrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140 nnuz 10841 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141139, 140syl6eleq 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15
14287, 138, 141leexp2ad 11981 . . . . . . . . . . . . . 14
143134, 142eqbrtrrd 4289 . . . . . . . . . . . . 13
14487, 88, 118lemul2d 11012 . . . . . . . . . . . . 13
145143, 144mpbid 204 . . . . . . . . . . . 12
146117, 120, 121, 132, 145ltletrd 9477 . . . . . . . . . . 11
147146, 94breqtrrd 4293 . . . . . . . . . 10
148 lttr 9397 . . . . . . . . . . 11
149117, 78, 112, 148syl3anc 1203 . . . . . . . . . 10
150147, 149mpand 660 . . . . . . . . 9
151116, 150syld 43 . . . . . . . 8
152151expr 602 . . . . . . 7
153152a2d 25 . . . . . 6
15467, 153syld 43 . . . . 5
155154ralimdva 2773 . . . 4
156 breq1 4270 . . . . . . 7
157156imbi1d 311 . . . . . 6
158157ralbidv 2714 . . . . 5
159158rspcev 3051 . . . 4
16055, 155, 159ee12an 1399 . . 3
161160rexlimdva 2820 . 2
16225, 161mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695  ifcif 3768   class class class wbr 4267  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541   cdiv 9939   cn 10268  2c2 10317   cn0 10525   cuz 10806   crp 10936   cfz 11381   cexp 11806   cabs 12664  sum_csu 13104   c0p 20847   cply 21393   ccoe 21395   cdgr 21396
This theorem is referenced by:  fta  22158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-ico 11251  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-0p 20848  df-ply 21397  df-coe 21399  df-dgr 21400
  Copyright terms: Public domain W3C validator