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Theorem ftalem2 22811
Description: Lemma for fta 22817. There exists some such that has magnitude greater than (0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1
ftalem.2
ftalem.3
ftalem.4
ftalem2.5
ftalem2.6
Assertion
Ref Expression
ftalem2
Distinct variable groups:   , , ,   N, , ,   , , ,   , ,   S,   , ,   , ,

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3
2 ftalem.2 . . 3
3 ftalem.3 . . 3
4 ftalem.4 . . 3
51coef3 22100 . . . . . . 7
63, 5syl 16 . . . . . 6
74nnnn0d 10774 . . . . . 6
86, 7ffvelrnd 5967 . . . . 5
94nnne0d 10504 . . . . . 6
102, 1dgreq0 22132 . . . . . . . . 9
11 fveq2 5813 . . . . . . . . . . 11
12 dgr0 22129 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10
142, 13syl5eq 2507 . . . . . . . . 9
1510, 14syl6bir 229 . . . . . . . 8
163, 15syl 16 . . . . . . 7
1716necon3d 2677 . . . . . 6
189, 17mpd 15 . . . . 5
198, 18absrpcld 13092 . . . 4
2019rphalfcld 11178 . . 3
21 fveq2 5813 . . . . . 6
2221fveq2d 5817 . . . . 5
2322cbvsumv 13331 . . . 4
2423oveq1i 6232 . . 3
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 22810 . 2
26 ftalem2.5 . . . . . 6
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9
28 plyf 22066 . . . . . . . . . . . . 13
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12
30 0cn 9515 . . . . . . . . . . . 12
31 ffvelrn 5964 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
3332abscld 13080 . . . . . . . . . 10
3433, 20rerpdivcld 11193 . . . . . . . . 9
3527, 34syl5eqel 2546 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
37 simpr 461 . . . . . . . 8
38 1re 9522 . . . . . . . 8
39 ifcl 3947 . . . . . . . 8
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . 7
41 ifcl 3947 . . . . . . 7
4236, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6
4326, 42syl5eqel 2546 . . . . 5
44 0red 9524 . . . . . 6
45 1red 9538 . . . . . 6
46 0lt1 9999 . . . . . . 7
4746a1i 11 . . . . . 6
48 max1 11296 . . . . . . . 8
4938, 37, 48sylancr 663 . . . . . . 7
50 max1 11296 . . . . . . . . 9
5140, 36, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8
5251, 26syl6breqr 4449 . . . . . . 7
5345, 40, 43, 49, 52letrd 9665 . . . . . 6
5444, 45, 43, 47, 53ltletrd 9668 . . . . 5
5543, 54elrpd 11164 . . . 4
56 max2 11298 . . . . . . . . . . 11
5738, 37, 56sylancr 663 . . . . . . . . . 10
5837, 40, 43, 57, 52letrd 9665 . . . . . . . . 9
5958adantr 465 . . . . . . . 8
6037adantr 465 . . . . . . . . 9
6143adantr 465 . . . . . . . . 9
62 abscl 12925 . . . . . . . . . 10
6362adantl 466 . . . . . . . . 9
64 lelttr 9602 . . . . . . . . 9
6560, 61, 63, 64syl3anc 1219 . . . . . . . 8
6659, 65mpand 675 . . . . . . 7
6766imim1d 75 . . . . . 6
6829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
7068, 69ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . . . . . 14
718ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7369, 72expcld 12165 . . . . . . . . . . . . . . 15
7471, 73mulcld 9543 . . . . . . . . . . . . . 14
7570, 74subcld 9856 . . . . . . . . . . . . 13
7675abscld 13080 . . . . . . . . . . . 12
7774abscld 13080 . . . . . . . . . . . . 13
7877rehalfcld 10709 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78, 77ltsub2d 10086 . . . . . . . . . . 11
8071, 73absmuld 13098 . . . . . . . . . . . . . . 15
8169, 72absexpd 13096 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . . 15
8380, 82eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14
8483oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . . 13
8571abscld 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
8763adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887, 72reexpcld 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
90 2cnd 10532 . . . . . . . . . . . . . 14
91 2ne0 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9386, 89, 90, 92div23d 10281 . . . . . . . . . . . . 13
9484, 93eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12
9594breq2d 4421 . . . . . . . . . . 11
9677recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15
97962halvesd 10708 . . . . . . . . . . . . . 14
9897oveq1d 6237 . . . . . . . . . . . . 13
9978recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
10099, 99pncand 9857 . . . . . . . . . . . . 13
10198, 100eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12
102101breq1d 4419 . . . . . . . . . . 11
10379, 95, 1023bitr3d 283 . . . . . . . . . 10
10474, 70subcld 9856 . . . . . . . . . . . . 13
10574, 104abs2difd 13101 . . . . . . . . . . . 12
10674, 70abssubd 13097 . . . . . . . . . . . . 13
107106oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . 12
10874, 70nncand 9861 . . . . . . . . . . . . 13
109108fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . 12
110105, 107, 1093brtr3d 4438 . . . . . . . . . . 11
11177, 76resubcld 9913 . . . . . . . . . . . 12
11270abscld 13080 . . . . . . . . . . . 12
113 ltletr 9603 . . . . . . . . . . . 12
11478, 111, 112, 113syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11
115110, 114mpan2d 674 . . . . . . . . . 10
116103, 115sylbid 215 . . . . . . . . 9
11733ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
11820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
119118rpred 11166 . . . . . . . . . . . . 13
120119, 87remulcld 9551 . . . . . . . . . . . 12
12194, 78eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . 12
12236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
12343adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 max2 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12540, 36, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126125, 26syl6breqr 4449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
129122, 123, 87, 127, 128lelttrd 9666 . . . . . . . . . . . . . 14
13027, 129syl5eqbrr 4443 . . . . . . . . . . . . 13
131117, 87, 118ltdivmuld 11213 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
13387recnd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133exp1d 12160 . . . . . . . . . . . . . 14
135 1red 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13653adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137135, 123, 87, 136, 128lelttrd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138135, 87, 137ltled 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15
1394ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140 nnuz 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141139, 140syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15
14287, 138, 141leexp2ad 12197 . . . . . . . . . . . . . 14
143134, 142eqbrtrrd 4431 . . . . . . . . . . . . 13
14487, 88, 118lemul2d 11206 . . . . . . . . . . . . 13
145143, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
146117, 120, 121, 132, 145ltletrd 9668 . . . . . . . . . . 11
147146, 94breqtrrd 4435 . . . . . . . . . 10
148 lttr 9588 . . . . . . . . . . 11
149117, 78, 112, 148syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10
150147, 149mpand 675 . . . . . . . . 9
151116, 150syld 44 . . . . . . . 8
152151expr 615 . . . . . . 7
153152a2d 26 . . . . . 6
15467, 153syld 44 . . . . 5
155154ralimdva 2833 . . . 4
156 breq1 4412 . . . . . . 7
157156imbi1d 317 . . . . . 6
158157ralbidv 2847 . . . . 5
159158rspcev 3182 . . . 4
16055, 155, 159syl6an 545 . . 3
161160rexlimdva 2950 . 2
16225, 161mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801  ifcif 3905   class class class wbr 4409  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732   cdiv 10130   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717   cuz 11000   crp 11130   cfz 11582   cexp 12022   cabs 12881  sum_csu 13321   c0p 21547   cply 22052   ccoe 22054   cdgr 22055
This theorem is referenced by:  fta  22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-ico 11445  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-0p 21548  df-ply 22056  df-coe 22058  df-dgr 22059
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