Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fun11 Unicode version

Theorem fun11 5658
 Description: Two ways of stating that is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 628 . . . . . . . 8
21imbi2i 312 . . . . . . 7
3 pm4.76 866 . . . . . . 7
4 bi2.04 361 . . . . . . . 8
5 bi2.04 361 . . . . . . . 8
64, 5anbi12i 697 . . . . . . 7
72, 3, 63bitr2i 273 . . . . . 6
872albii 1641 . . . . 5
9 19.26-2 1681 . . . . 5
10 alcom 1845 . . . . . . 7
11 nfv 1707 . . . . . . . . 9
12 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
1312anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
1413imbi1d 317 . . . . . . . . 9
1511, 14equsal 2036 . . . . . . . 8
1615albii 1640 . . . . . . 7
1710, 16bitri 249 . . . . . 6
18 nfv 1707 . . . . . . . 8
19 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
2019anbi1d 704 . . . . . . . . 9
2120imbi1d 317 . . . . . . . 8
2218, 21equsal 2036 . . . . . . 7
2322albii 1640 . . . . . 6
2417, 23anbi12i 697 . . . . 5
258, 9, 243bitri 271 . . . 4
26252albii 1641 . . 3
27 19.26-2 1681 . . 3
2826, 27bitr2i 250 . 2
29 fun2cnv 5655 . . . 4
30 breq2 4456 . . . . . 6
3130mo4 2337 . . . . 5
3231albii 1640 . . . 4
33 alcom 1845 . . . . 5
3433albii 1640 . . . 4
3529, 32, 343bitri 271 . . 3
36 funcnv2 5652 . . . 4
37 breq1 4455 . . . . . 6
3837mo4 2337 . . . . 5
3938albii 1640 . . . 4
40 alcom 1845 . . . . . 6
4140albii 1640 . . . . 5
42 alcom 1845 . . . . 5
4341, 42bitri 249 . . . 4
4436, 39, 433bitri 271 . . 3
4535, 44anbi12i 697 . 2
46 alrot4 1847 . 2
4728, 45, 463bitr4i 277 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E*wmo 2283   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  Fun`wfun 5587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-fun 5595
 Copyright terms: Public domain W3C validator