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Theorem fun11iun 6760
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fun11iun.1
fun11iun.2
Assertion
Ref Expression
fun11iun
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,S

Proof of Theorem fun11iun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . . . 10
2 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
32rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10
41, 3elab 3246 . . . . . . . . 9
5 r19.29 2992 . . . . . . . . . 10
6 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
7 nfre1 2918 . . . . . . . . . . . . . 14
87nfab 2623 . . . . . . . . . . . . 13
9 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9nfral 2843 . . . . . . . . . . . 12
116, 10nfan 1928 . . . . . . . . . . 11
12 f1eq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 df-f1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 ffun 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1714, 16sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
20 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2320, 22elab 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 fun11iun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3129, 30orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3231biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3332expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3433rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3627, 35sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3926, 38sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15
4023, 39sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14
4140ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
4219, 41jca 532 . . . . . . . . . . . 12
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4411, 43rexlimi 2939 . . . . . . . . . 10
455, 44syl 16 . . . . . . . . 9
464, 45sylan2b 475 . . . . . . . 8
4746ralrimiva 2871 . . . . . . 7
48 fun11uni 6754 . . . . . . 7
4947, 48syl 16 . . . . . 6
5049simpld 459 . . . . 5
51 fun11iun.2 . . . . . . 7
5251dfiun2 4364 . . . . . 6
5352funeqi 5613 . . . . 5
5450, 53sylibr 212 . . . 4
55 nfra1 2838 . . . . . . 7
56 rsp 2823 . . . . . . . . 9
571eldm2 5206 . . . . . . . . . . 11
58 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . 12
5958eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
6057, 59syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10
6160adantr 465 . . . . . . . . 9
6256, 61syl6 33 . . . . . . . 8
6362imp 429 . . . . . . 7
6455, 63rexbida 2963 . . . . . 6
65 eliun 4335 . . . . . . . 8
6665exbii 1667 . . . . . . 7
671eldm2 5206 . . . . . . 7
68 rexcom4 3129 . . . . . . 7
6966, 67, 683bitr4i 277 . . . . . 6
70 eliun 4335 . . . . . 6
7164, 69, 703bitr4g 288 . . . . 5
7271eqrdv 2454 . . . 4
73 df-fn 5596 . . . 4
7454, 72, 73sylanbrc 664 . . 3
75 rniun 5421 . . . 4
76 f1f 5786 . . . . . . . 8
77 frn 5742 . . . . . . . 8
7876, 77syl 16 . . . . . . 7
7978adantr 465 . . . . . 6
8079ralimi 2850 . . . . 5
81 iunss 4371 . . . . 5
8280, 81sylibr 212 . . . 4
8375, 82syl5eqss 3547 . . 3
84 df-f 5597 . . 3
8574, 83, 84sylanbrc 664 . 2
8649simprd 463 . . 3
8752cnveqi 5182 . . . 4
8887funeqi 5613 . . 3
8986, 88sylibr 212 . 2
90 df-f1 5598 . 2
9185, 89, 90sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035  U.cuni 4249  U_ciun 4330  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590
This theorem is referenced by:  ackbij2  8644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598
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