MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvuni Unicode version

Theorem funcnvuni 6753
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5653 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnvuni
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem funcnvuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5181 . . . . . . . 8
21eqeq2d 2471 . . . . . . 7
32cbvrexv 3085 . . . . . 6
4 cnveq 5181 . . . . . . . . . . 11
54funeqd 5614 . . . . . . . . . 10
6 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . 12
7 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . 12
86, 7orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
98ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
105, 9anbi12d 710 . . . . . . . . 9
1110rspcv 3206 . . . . . . . 8
12 funeq 5612 . . . . . . . . . 10
1312biimprcd 225 . . . . . . . . 9
14 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14
1716rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13
18 cnvss 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 cnvss 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2018, 19orim12i 516 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 sseq12 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
2520, 24syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14
2625expd 436 . . . . . . . . . . . . 13
2717, 26syl6com 35 . . . . . . . . . . . 12
2827rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . 11
2928com23 78 . . . . . . . . . 10
3029alrimdv 1721 . . . . . . . . 9
3113, 30anim12ii 570 . . . . . . . 8
3211, 31syl6com 35 . . . . . . 7
3332rexlimdv 2947 . . . . . 6
343, 33syl5bi 217 . . . . 5
3534alrimiv 1719 . . . 4
36 df-ral 2812 . . . . 5
37 vex 3112 . . . . . . . 8
38 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9
3938rexbidv 2968 . . . . . . . 8
4037, 39elab 3246 . . . . . . 7
41 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
4241rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
4342ralab 3260 . . . . . . . 8
4443anbi2i 694 . . . . . . 7
4540, 44imbi12i 326 . . . . . 6
4645albii 1640 . . . . 5
4736, 46bitr2i 250 . . . 4
4835, 47sylib 196 . . 3
49 fununi 5659 . . 3
5048, 49syl 16 . 2
51 cnvuni 5194 . . . 4
52 vex 3112 . . . . . 6
5352cnvex 6747 . . . . 5
5453dfiun2 4364 . . . 4
5551, 54eqtri 2486 . . 3
5655funeqi 5613 . 2
5750, 56sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330  `'ccnv 5003  Funwfun 5587
This theorem is referenced by:  fun11uni  6754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595
  Copyright terms: Public domain W3C validator