Theorem funcnvuni 6753

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5653 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5181	. . . . . . . 8
2	1	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
3	2	cbvrexv 3085	. . . . . 6
4		cnveq 5181	. . . . . . . . . . 11
5	4	funeqd 5614	. . . . . . . . . 10
6		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . 12
7		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . 12
8	6, 7	orbi12d 709	. . . . . . . . . . 11
9	8	ralbidv 2896	. . . . . . . . . 10
10	5, 9	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
11	10	rspcv 3206	. . . . . . . 8
12		funeq 5612	. . . . . . . . . 10
13	12	biimprcd 225	. . . . . . . . 9
14		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	14, 15	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . . . 14
17	16	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . 13
18		cnvss 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		cnvss 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	18, 19	orim12i 516	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		sseq12 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	21	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23		sseq12 3526	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	22, 23	orbi12d 709	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	20, 24	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	expd 436	. . . . . . . . . . . . 13
27	17, 26	syl6com 35	. . . . . . . . . . . 12
28	27	rexlimdv 2947	. . . . . . . . . . 11
29	28	com23 78	. . . . . . . . . 10
30	29	alrimdv 1721	. . . . . . . . 9
31	13, 30	anim12ii 570	. . . . . . . 8
32	11, 31	syl6com 35	. . . . . . 7
33	32	rexlimdv 2947	. . . . . 6
34	3, 33	syl5bi 217	. . . . 5
35	34	alrimiv 1719	. . . 4
36		df-ral 2812	. . . . 5
37		vex 3112	. . . . . . . 8
38		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9
39	38	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
40	37, 39	elab 3246	. . . . . . 7
41		eqeq1 2461	. . . . . . . . . 10
42	41	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9
43	42	ralab 3260	. . . . . . . 8
44	43	anbi2i 694	. . . . . . 7
45	40, 44	imbi12i 326	. . . . . 6
46	45	albii 1640	. . . . 5
47	36, 46	bitr2i 250	. . . 4
48	35, 47	sylib 196	. . 3
49		fununi 5659	. . 3
50	48, 49	syl 16	. 2
51		cnvuni 5194	. . . 4
52		vex 3112	. . . . . 6
53	52	cnvex 6747	. . . . 5
54	53	dfiun2 4364	. . . 4
55	51, 54	eqtri 2486	. . 3
56	55	funeqi 5613	. 2
57	50, 56	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330  `'ccnv 5003  Funwfun 5587

This theorem is referenced by:  fun11uni  6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-fun 5595