MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fundmen Unicode version

Theorem fundmen 7609
Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 28-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fundmen.1
Assertion
Ref Expression
fundmen

Proof of Theorem fundmen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fundmen.1 . . . 4
21dmex 6733 . . 3
32a1i 11 . 2
41a1i 11 . 2
5 funfvop 5999 . . 3
65ex 434 . 2
7 funrel 5610 . . 3
8 elreldm 5232 . . . 4
98ex 434 . . 3
107, 9syl 16 . 2
11 df-rel 5011 . . . . . . . . 9
127, 11sylib 196 . . . . . . . 8
1312sselda 3503 . . . . . . 7
14 elvv 5063 . . . . . . 7
1513, 14sylib 196 . . . . . 6
16 inteq 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716inteqd 4291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2018, 19op1stb 4722 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117, 20syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14
24 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
2625imp 429 . . . . . . . . . . . 12
27 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
2827biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . 13
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
3026, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11
3130ancoms 453 . . . . . . . . . 10
3231adantl 466 . . . . . . . . 9
3330eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
35 funopfv 5912 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
3734, 36sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
3837exp32 605 . . . . . . . . . . . 12
3938com24 87 . . . . . . . . . . 11
4039imp43 595 . . . . . . . . . 10
4140opeq2d 4224 . . . . . . . . 9
4232, 41eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
4342exp32 605 . . . . . . 7
4443exlimdvv 1725 . . . . . 6
4515, 44mpd 15 . . . . 5
4645adantrl 715 . . . 4
47 inteq 4289 . . . . . 6
4847inteqd 4291 . . . . 5
49 vex 3112 . . . . . 6
50 fvex 5881 . . . . . 6
5149, 50op1stb 4722 . . . . 5
5248, 51syl6req 2515 . . . 4
5346, 52impbid1 203 . . 3
5453ex 434 . 2
553, 4, 6, 10, 54en3d 7572 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  <.cop 4035  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  Relwrel 5009  Funwfun 5587  `cfv 5593   cen 7533
This theorem is referenced by:  fundmeng  7610  infmap2  8619  heicant  30049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator