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Theorem funopg 5625
Description: A Kuratowski ordered pair is a function only if its components are equal. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funopg

Proof of Theorem funopg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 4217 . . . . 5
21funeqd 5614 . . . 4
3 eqeq1 2461 . . . 4
42, 3imbi12d 320 . . 3
5 opeq2 4218 . . . . 5
65funeqd 5614 . . . 4
7 eqeq2 2472 . . . 4
86, 7imbi12d 320 . . 3
9 funrel 5610 . . . . 5
10 vex 3112 . . . . . 6
11 vex 3112 . . . . . 6
1210, 11relop 5158 . . . . 5
139, 12sylib 196 . . . 4
1410, 11opth 4726 . . . . . . . 8
15 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1615opid 4236 . . . . . . . . . . 11
1716preq1i 4112 . . . . . . . . . 10
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1915, 18dfop 4216 . . . . . . . . . . 11
2019preq2i 4113 . . . . . . . . . 10
21 snex 4693 . . . . . . . . . . 11
22 zfpair2 4692 . . . . . . . . . . 11
2321, 22dfop 4216 . . . . . . . . . 10
2417, 20, 233eqtr4ri 2497 . . . . . . . . 9
2524eqeq2i 2475 . . . . . . . 8
2614, 25bitr3i 251 . . . . . . 7
27 dffun4 5605 . . . . . . . . 9
2827simprbi 464 . . . . . . . 8
29 opex 4716 . . . . . . . . . . 11
3029prid1 4138 . . . . . . . . . 10
31 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
3230, 31mpbiri 233 . . . . . . . . 9
33 opex 4716 . . . . . . . . . . 11
3433prid2 4139 . . . . . . . . . 10
35 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
3634, 35mpbiri 233 . . . . . . . . 9
3732, 36jca 532 . . . . . . . 8
38 opeq12 4219 . . . . . . . . . . . . . 14
39383adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
4039eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
41 opeq12 4219 . . . . . . . . . . . . . 14
42413adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
4342eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
4440, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
45 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . 12
46453adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
4744, 46imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
4847spc3gv 3199 . . . . . . . . 9
4915, 15, 18, 48mp3an 1324 . . . . . . . 8
5028, 37, 49syl2im 38 . . . . . . 7
5126, 50syl5bi 217 . . . . . 6
52 dfsn2 4042 . . . . . . . . . . 11
53 preq2 4110 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl5req 2511 . . . . . . . . . 10
5554eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
56 eqtr3 2485 . . . . . . . . . 10
5756expcom 435 . . . . . . . . 9
5855, 57syl6bi 228 . . . . . . . 8
5958com13 80 . . . . . . 7
6059imp 429 . . . . . 6
6151, 60sylcom 29 . . . . 5
6261exlimdvv 1725 . . . 4
6313, 62mpd 15 . . 3
644, 8, 63vtocl2g 3171 . 2
65643impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035  Relwrel 5009  Funwfun 5587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-fun 5595
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