Theorem funssres 5633

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres

Proof of Theorem funssres

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3497	. . . . . . 7
2		vex 3112	. . . . . . . . 9
3		vex 3112	. . . . . . . . 9
4	2, 3	opeldm 5211	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7
6	1, 5	jcad 533	. . . . . 6
7	6	adantl 466	. . . . 5
8		funeu2 5618	. . . . . . . . . . . 12
9	2	eldm2 5206	. . . . . . . . . . . . . 14
10	1	ancrd 554	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	eximdv 1710	. . . . . . . . . . . . . 14
12	9, 11	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
14		eupick 2358	. . . . . . . . . . . 12
15	8, 13, 14	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
16	15	exp43 612	. . . . . . . . . 10
17	16	com23 78	. . . . . . . . 9
18	17	imp 429	. . . . . . . 8
19	18	com34 83	. . . . . . 7
20	19	pm2.43d 48	. . . . . 6
21	20	impd 431	. . . . 5
22	7, 21	impbid 191	. . . 4
23	3	opelres 5284	. . . 4
24	22, 23	syl6rbbr 264	. . 3
25	24	alrimivv 1720	. 2
26		relres 5306	. . 3
27		funrel 5610	. . . 4
28		relss 5095	. . . 4
29	27, 28	mpan9 469	. . 3
30		eqrel 5097	. . 3
31	26, 29, 30	sylancr 663	. 2
32	25, 31	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  C_wss 3475  <.cop 4035  domcdm 5004  |`cres 5006  Relwrel 5009  Funwfun 5587

This theorem is referenced by:  fun2ssres  5634  funcnvres  5662  funssfv  5886  oprssov  6444  isngp2  21117  dvres3  22317  dvres3a  22318  dchrelbas2  23512  funpsstri  29195  funsseq  29199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-res 5016  df-fun 5595