Theorem funtpg 5643

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 993	. . . 4
2		3simpa 993	. . . 4
3		simp1 996	. . . 4
4		funprg 5642	. . . 4
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1270	. . 3
6		simp13 1028	. . . 4
7		simp23 1031	. . . 4
8		funsng 5639	. . . 4
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . 3
10	2	3ad2ant2 1018	. . . . . 6
11		dmpropg 5486	. . . . . 6
12	10, 11	syl 16	. . . . 5
13		dmsnopg 5484	. . . . . 6
14	7, 13	syl 16	. . . . 5
15	12, 14	ineq12d 3700	. . . 4
16		elpri 4049	. . . . . . . 8
17		nne 2658	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12
19	18	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11
20	19	3mix2d 1172	. . . . . . . . . 10
21		nne 2658	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	biimpri 206	. . . . . . . . . . . 12
23	22	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11
24	23	3mix3d 1173	. . . . . . . . . 10
25	20, 24	jaoi 379	. . . . . . . . 9
26		3ianor 990	. . . . . . . . 9
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . . 8
28	16, 27	syl 16	. . . . . . 7
29	28	con2i 120	. . . . . 6
30		disjsn 4090	. . . . . 6
31	29, 30	sylibr 212	. . . . 5
32	31	3ad2ant3 1019	. . . 4
33	15, 32	eqtrd 2498	. . 3
34		funun 5635	. . 3
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1227	. 2
36		df-tp 4034	. . 3
37	36	funeqi 5613	. 2
38	35, 37	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  {ctp 4033  <.cop 4035  domcdm 5004  Funwfun 5587

This theorem is referenced by:  fntpg  5648  constr2spthlem1  24596  estrres  32645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-fun 5595