Theorem funun 5635

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun

Proof of Theorem funun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5610	. . . . 5
2		funrel 5610	. . . . 5
3	1, 2	anim12i 566	. . . 4
4		relun 5124	. . . 4
5	3, 4	sylibr 212	. . 3
6	5	adantr 465	. 2
7		elun 3644	. . . . . . . 8
8		elun 3644	. . . . . . . 8
9	7, 8	anbi12i 697	. . . . . . 7
10		anddi 870	. . . . . . 7
11	9, 10	bitri 249	. . . . . 6
12		disj1 3869	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12
14	13	19.21bi 1869	. . . . . . . . . . 11
15		imnan 422	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	sylib 196	. . . . . . . . . 10
17		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 18	opeldm 5211	. . . . . . . . . . 11
20		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
21	17, 20	opeldm 5211	. . . . . . . . . . 11
22	19, 21	anim12i 566	. . . . . . . . . 10
23	16, 22	nsyl 121	. . . . . . . . 9
24		orel2 383	. . . . . . . . 9
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8
26	14	con2d 115	. . . . . . . . . . 11
27		imnan 422	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	sylib 196	. . . . . . . . . 10
29	17, 18	opeldm 5211	. . . . . . . . . . 11
30	17, 20	opeldm 5211	. . . . . . . . . . 11
31	29, 30	anim12i 566	. . . . . . . . . 10
32	28, 31	nsyl 121	. . . . . . . . 9
33		orel1 382	. . . . . . . . 9
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . 8
35	25, 34	orim12d 838	. . . . . . 7
36	35	adantl 466	. . . . . 6
37	11, 36	syl5bi 217	. . . . 5
38		dffun4 5605	. . . . . . . . . 10
39	38	simprbi 464	. . . . . . . . 9
40	39	19.21bi 1869	. . . . . . . 8
41	40	19.21bbi 1870	. . . . . . 7
42		dffun4 5605	. . . . . . . . . 10
43	42	simprbi 464	. . . . . . . . 9
44	43	19.21bi 1869	. . . . . . . 8
45	44	19.21bbi 1870	. . . . . . 7
46	41, 45	jaao 509	. . . . . 6
47	46	adantr 465	. . . . 5
48	37, 47	syld 44	. . . 4
49	48	alrimiv 1719	. . 3
50	49	alrimivv 1720	. 2
51		dffun4 5605	. 2
52	6, 50, 51	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  <.cop 4035  domcdm 5004  Relwrel 5009  Funwfun 5587

This theorem is referenced by:  funprg  5642  funtpg  5643  funtp  5645  fnun  5692  fvun  5943  tfrlem10  7075  sbthlem7  7653  sbthlem8  7654  fodomr  7688  funsnfsupp  7873  axdc3lem4  8854  strlemor1  14724  strleun  14727  wfrlem13  29355  bnj1421  34098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-fun 5595