MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funun Unicode version

Theorem funun 5635
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun

Proof of Theorem funun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5610 . . . . 5
2 funrel 5610 . . . . 5
31, 2anim12i 566 . . . 4
4 relun 5124 . . . 4
53, 4sylibr 212 . . 3
65adantr 465 . 2
7 elun 3644 . . . . . . . 8
8 elun 3644 . . . . . . . 8
97, 8anbi12i 697 . . . . . . 7
10 anddi 870 . . . . . . 7
119, 10bitri 249 . . . . . 6
12 disj1 3869 . . . . . . . . . . . . 13
1312biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12
141319.21bi 1869 . . . . . . . . . . 11
15 imnan 422 . . . . . . . . . . 11
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . 10
17 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18opeldm 5211 . . . . . . . . . . 11
20 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20opeldm 5211 . . . . . . . . . . 11
2219, 21anim12i 566 . . . . . . . . . 10
2316, 22nsyl 121 . . . . . . . . 9
24 orel2 383 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
2614con2d 115 . . . . . . . . . . 11
27 imnan 422 . . . . . . . . . . 11
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . 10
2917, 18opeldm 5211 . . . . . . . . . . 11
3017, 20opeldm 5211 . . . . . . . . . . 11
3129, 30anim12i 566 . . . . . . . . . 10
3228, 31nsyl 121 . . . . . . . . 9
33 orel1 382 . . . . . . . . 9
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8
3525, 34orim12d 838 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
3711, 36syl5bi 217 . . . . 5
38 dffun4 5605 . . . . . . . . . 10
3938simprbi 464 . . . . . . . . 9
403919.21bi 1869 . . . . . . . 8
414019.21bbi 1870 . . . . . . 7
42 dffun4 5605 . . . . . . . . . 10
4342simprbi 464 . . . . . . . . 9
444319.21bi 1869 . . . . . . . 8
454419.21bbi 1870 . . . . . . 7
4641, 45jaao 509 . . . . . 6
4746adantr 465 . . . . 5
4837, 47syld 44 . . . 4
4948alrimiv 1719 . . 3
5049alrimivv 1720 . 2
51 dffun4 5605 . 2
526, 50, 51sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  <.cop 4035  domcdm 5004  Relwrel 5009  Funwfun 5587
This theorem is referenced by:  funprg  5642  funtpg  5643  funtp  5645  fnun  5692  fvun  5943  tfrlem10  7075  sbthlem7  7653  sbthlem8  7654  fodomr  7688  funsnfsupp  7873  axdc3lem4  8854  strlemor1  14724  strleun  14727  wfrlem13  29355  bnj1421  34098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-fun 5595
  Copyright terms: Public domain W3C validator