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Theorem fununi 5603
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem fununi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5554 . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
32ralimi 2820 . . 3
4 reluni 5079 . . 3
53, 4sylibr 212 . 2
6 r19.28av 2965 . . . 4
76ralimi 2820 . . 3
8 ssel 3464 . . . . . . . . . . . . 13
98anim1d 564 . . . . . . . . . . . 12
10 dffun4 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
121119.21bbi 1899 . . . . . . . . . . . . 13
131219.21bi 1809 . . . . . . . . . . . 12
149, 13syl9r 72 . . . . . . . . . . 11
1514adantl 466 . . . . . . . . . 10
16 ssel 3464 . . . . . . . . . . . . 13
1716anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12
18 dffun4 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
201919.21bbi 1899 . . . . . . . . . . . . 13
212019.21bi 1809 . . . . . . . . . . . 12
2217, 21syl9r 72 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10
2415, 23jaod 380 . . . . . . . . 9
2524imp 429 . . . . . . . 8
2625ralimi 2820 . . . . . . 7
2726ralimi 2820 . . . . . 6
28 funeq 5556 . . . . . . . . . 10
29 sseq1 3491 . . . . . . . . . . 11
30 sseq2 3492 . . . . . . . . . . 11
3129, 30orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
3228, 31anbi12d 710 . . . . . . . . 9
33 sseq2 3492 . . . . . . . . . . 11
34 sseq1 3491 . . . . . . . . . . 11
3533, 34orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
3635anbi2d 703 . . . . . . . . 9
3732, 36cbvral2v 3064 . . . . . . . 8
38 ralcom 2990 . . . . . . . . 9
39 orcom 387 . . . . . . . . . . . 12
40 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . 13
41 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
45 funeq 5556 . . . . . . . . . . 11
46 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . 12
47 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
4945, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
5044, 49cbvral2v 3064 . . . . . . . . 9
5138, 50bitri 249 . . . . . . . 8
5237, 51anbi12i 697 . . . . . . 7
53 anidm 644 . . . . . . 7
54 anandir 825 . . . . . . . . 9
55542ralbii 2841 . . . . . . . 8
56 r19.26-2 2959 . . . . . . . 8
5755, 56bitr2i 250 . . . . . . 7
5852, 53, 573bitr3i 275 . . . . . 6
59 eluni 4211 . . . . . . . . . 10
60 eluni 4211 . . . . . . . . . 10
6159, 60anbi12i 697 . . . . . . . . 9
62 eeanv 1944 . . . . . . . . 9
63 an4 820 . . . . . . . . . . 11
64 ancom 450 . . . . . . . . . . 11
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . 10
66652exbii 1636 . . . . . . . . 9
6761, 62, 663bitr2i 273 . . . . . . . 8
6867imbi1i 325 . . . . . . 7
69 19.23v 1922 . . . . . . 7
70 r2al 2851 . . . . . . . 8
71 impexp 446 . . . . . . . . 9
72712albii 1612 . . . . . . . 8
73 19.23v 1922 . . . . . . . . 9
7473albii 1611 . . . . . . . 8
7570, 72, 743bitr2ri 274 . . . . . . 7
7668, 69, 753bitr2i 273 . . . . . 6
7727, 58, 763imtr4i 266 . . . . 5
7877alrimiv 1686 . . . 4
7978alrimivv 1687 . . 3
807, 79syl 16 . 2
81 dffun4 5549 . 2
825, 80, 81sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1368  E.wex 1587  e.wcel 1758  A.wral 2800  C_wss 3442  <.cop 3999  U.cuni 4208  Relwrel 4962  Funwfun 5531
This theorem is referenced by:  funcnvuni  6663  fun11uni  6664  axdc3lem2  8757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pr 4648
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-id 4753  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-fun 5539
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