MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fununi Unicode version

Theorem fununi 5454
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem fununi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5407 . . . . 5
21adantr 455 . . . 4
32ralimi 2770 . . 3
4 reluni 4933 . . 3
53, 4sylibr 206 . 2
6 r19.28av 2835 . . . 4
76ralimi 2770 . . 3
8 ssel 3327 . . . . . . . . . . . . 13
98anim1d 551 . . . . . . . . . . . 12
10 dffun4 5402 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110simprbi 454 . . . . . . . . . . . . . 14
121119.21bbi 1877 . . . . . . . . . . . . 13
131219.21bi 1797 . . . . . . . . . . . 12
149, 13syl9r 70 . . . . . . . . . . 11
1514adantl 456 . . . . . . . . . 10
16 ssel 3327 . . . . . . . . . . . . 13
1716anim2d 552 . . . . . . . . . . . 12
18 dffun4 5402 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918simprbi 454 . . . . . . . . . . . . . 14
201919.21bbi 1877 . . . . . . . . . . . . 13
212019.21bi 1797 . . . . . . . . . . . 12
2217, 21syl9r 70 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 455 . . . . . . . . . 10
2415, 23jaod 373 . . . . . . . . 9
2524imp 422 . . . . . . . 8
2625ralimi 2770 . . . . . . 7
2726ralimi 2770 . . . . . 6
28 funeq 5409 . . . . . . . . . 10
29 sseq1 3354 . . . . . . . . . . 11
30 sseq2 3355 . . . . . . . . . . 11
3129, 30orbi12d 694 . . . . . . . . . 10
3228, 31anbi12d 695 . . . . . . . . 9
33 sseq2 3355 . . . . . . . . . . 11
34 sseq1 3354 . . . . . . . . . . 11
3533, 34orbi12d 694 . . . . . . . . . 10
3635anbi2d 688 . . . . . . . . 9
3732, 36cbvral2v 2934 . . . . . . . 8
38 ralcom 2860 . . . . . . . . 9
39 orcom 380 . . . . . . . . . . . 12
40 sseq1 3354 . . . . . . . . . . . . 13
41 sseq2 3355 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41orbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl5bb 251 . . . . . . . . . . 11
4443anbi2d 688 . . . . . . . . . 10
45 funeq 5409 . . . . . . . . . . 11
46 sseq2 3355 . . . . . . . . . . . 12
47 sseq1 3354 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47orbi12d 694 . . . . . . . . . . 11
4945, 48anbi12d 695 . . . . . . . . . 10
5044, 49cbvral2v 2934 . . . . . . . . 9
5138, 50bitri 243 . . . . . . . 8
5237, 51anbi12i 682 . . . . . . 7
53 anidm 629 . . . . . . 7
54 anandir 810 . . . . . . . . 9
55542ralbii 2720 . . . . . . . 8
56 r19.26-2 2829 . . . . . . . 8
5755, 56bitr2i 244 . . . . . . 7
5852, 53, 573bitr3i 269 . . . . . 6
59 eluni 4069 . . . . . . . . . 10
60 eluni 4069 . . . . . . . . . 10
6159, 60anbi12i 682 . . . . . . . . 9
62 eeanv 1922 . . . . . . . . 9
63 an4 805 . . . . . . . . . . 11
64 ancom 441 . . . . . . . . . . 11
6563, 64bitri 243 . . . . . . . . . 10
66652exbii 1627 . . . . . . . . 9
6761, 62, 663bitr2i 267 . . . . . . . 8
6867imbi1i 318 . . . . . . 7
69 19.23v 1900 . . . . . . 7
70 r2al 2731 . . . . . . . 8
71 impexp 437 . . . . . . . . 9
72712albii 1606 . . . . . . . 8
73 19.23v 1900 . . . . . . . . 9
7473albii 1605 . . . . . . . 8
7570, 72, 743bitr2ri 268 . . . . . . 7
7668, 69, 753bitr2i 267 . . . . . 6
7727, 58, 763imtr4i 260 . . . . 5
7877alrimiv 1676 . . . 4
7978alrimivv 1677 . . 3
807, 79syl 16 . 2
81 dffun4 5402 . 2
825, 80, 81sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 361  /\wa 362  A.wal 1580  E.wex 1581  e.wcel 1749  A.wral 2694  C_wss 3305  <.cop 3856  U.cuni 4066  Relwrel 4816  Funwfun 5384
This theorem is referenced by:  funcnvuni  6499  fun11uni  6500  axdc3lem2  8567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pr 4503
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-id 4607  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-fun 5392
  Copyright terms: Public domain W3C validator