MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fununi Unicode version

Theorem fununi 5659
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem fununi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5610 . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
32ralimi 2850 . . 3
4 reluni 5130 . . 3
53, 4sylibr 212 . 2
6 r19.28v 2991 . . . 4
76ralimi 2850 . . 3
8 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . 13
98anim1d 564 . . . . . . . . . . . 12
10 dffun4 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
121119.21bbi 1870 . . . . . . . . . . . . 13
131219.21bi 1869 . . . . . . . . . . . 12
149, 13syl9r 72 . . . . . . . . . . 11
1514adantl 466 . . . . . . . . . 10
16 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . 13
1716anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12
18 dffun4 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
201919.21bbi 1870 . . . . . . . . . . . . 13
212019.21bi 1869 . . . . . . . . . . . 12
2217, 21syl9r 72 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10
2415, 23jaod 380 . . . . . . . . 9
2524imp 429 . . . . . . . 8
2625ralimi 2850 . . . . . . 7
2726ralimi 2850 . . . . . 6
28 funeq 5612 . . . . . . . . . 10
29 sseq1 3524 . . . . . . . . . . 11
30 sseq2 3525 . . . . . . . . . . 11
3129, 30orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
3228, 31anbi12d 710 . . . . . . . . 9
33 sseq2 3525 . . . . . . . . . . 11
34 sseq1 3524 . . . . . . . . . . 11
3533, 34orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
3635anbi2d 703 . . . . . . . . 9
3732, 36cbvral2v 3092 . . . . . . . 8
38 ralcom 3018 . . . . . . . . 9
39 orcom 387 . . . . . . . . . . . 12
40 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
41 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
45 funeq 5612 . . . . . . . . . . 11
46 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . 12
47 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
4945, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
5044, 49cbvral2v 3092 . . . . . . . . 9
5138, 50bitri 249 . . . . . . . 8
5237, 51anbi12i 697 . . . . . . 7
53 anidm 644 . . . . . . 7
54 anandir 829 . . . . . . . . 9
55542ralbii 2889 . . . . . . . 8
56 r19.26-2 2985 . . . . . . . 8
5755, 56bitr2i 250 . . . . . . 7
5852, 53, 573bitr3i 275 . . . . . 6
59 eluni 4252 . . . . . . . . . 10
60 eluni 4252 . . . . . . . . . 10
6159, 60anbi12i 697 . . . . . . . . 9
62 eeanv 1988 . . . . . . . . 9
63 an4 824 . . . . . . . . . . 11
64 ancom 450 . . . . . . . . . . 11
6563, 64bitri 249 . . . . . . . . . 10
66652exbii 1668 . . . . . . . . 9
6761, 62, 663bitr2i 273 . . . . . . . 8
6867imbi1i 325 . . . . . . 7
69 19.23v 1760 . . . . . . 7
70 r2al 2835 . . . . . . . 8
71 impexp 446 . . . . . . . . 9
72712albii 1641 . . . . . . . 8
73 19.23v 1760 . . . . . . . . 9
7473albii 1640 . . . . . . . 8
7570, 72, 743bitr2ri 274 . . . . . . 7
7668, 69, 753bitr2i 273 . . . . . 6
7727, 58, 763imtr4i 266 . . . . 5
7877alrimiv 1719 . . . 4
7978alrimivv 1720 . . 3
807, 79syl 16 . 2
81 dffun4 5605 . 2
825, 80, 81sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  <.cop 4035  U.cuni 4249  Relwrel 5009  Funwfun 5587
This theorem is referenced by:  funcnvuni  6753  fun11uni  6754  axdc3lem2  8852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-fun 5595
  Copyright terms: Public domain W3C validator