Theorem fvcofneq 6039

Description: The values of two function compositions are equal if the values of the composed functions are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvcofneq

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fvcofneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4
2		elin 3686	. . . . . 6
3		simpl 457	. . . . . 6
4	2, 3	sylbi 195	. . . . 5
5	4	3ad2ant1 1017	. . . 4
6		fvco2 5948	. . . 4
7	1, 5, 6	syl2an 477	. . 3
8		simpr 461	. . . . 5
9		simpr 461	. . . . . . 7
10	2, 9	sylbi 195	. . . . . 6
11	10	3ad2ant1 1017	. . . . 5
12		fvco2 5948	. . . . 5
13	8, 11, 12	syl2an 477	. . . 4
14		fveq2 5871	. . . . . . 7
15	14	eqcoms 2469	. . . . . 6
16	15	3ad2ant2 1018	. . . . 5
17	16	adantl 466	. . . 4
18		id 22	. . . . . . . . . . . 12
19		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . 12
20	18, 4, 19	syl2anr 478	. . . . . . . . . . 11
21	20	ex 434	. . . . . . . . . 10
22		id 22	. . . . . . . . . . . 12
23		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 10, 23	syl2anr 478	. . . . . . . . . . 11
25	24	ex 434	. . . . . . . . . 10
26	21, 25	anim12d 563	. . . . . . . . 9
27		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
28	27	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11
29	28	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10
30		elin 3686	. . . . . . . . . . 11
31	30	biimpri 206	. . . . . . . . . 10
32	29, 31	syl6bi 228	. . . . . . . . 9
33	26, 32	sylan9 657	. . . . . . . 8
34		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
36	34, 35	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
37	36	rspcva 3208	. . . . . . . . . 10
38	37	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9
39	38	ex 434	. . . . . . . 8
40	33, 39	syl6 33	. . . . . . 7
41	40	com23 78	. . . . . 6
42	41	3impia 1193	. . . . 5
43	42	impcom 430	. . . 4
44	13, 17, 43	3eqtrrd 2503	. . 3
45	7, 44	eqtrd 2498	. 2
46	45	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fvcosymgeq  16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601