MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcofneq Unicode version

Theorem fvcofneq 6039
Description: The values of two function compositions are equal if the values of the composed functions are pairwise equal. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fvcofneq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fvcofneq
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4
2 elin 3686 . . . . . 6
3 simpl 457 . . . . . 6
42, 3sylbi 195 . . . . 5
543ad2ant1 1017 . . . 4
6 fvco2 5948 . . . 4
71, 5, 6syl2an 477 . . 3
8 simpr 461 . . . . 5
9 simpr 461 . . . . . . 7
102, 9sylbi 195 . . . . . 6
11103ad2ant1 1017 . . . . 5
12 fvco2 5948 . . . . 5
138, 11, 12syl2an 477 . . . 4
14 fveq2 5871 . . . . . . 7
1514eqcoms 2469 . . . . . 6
16153ad2ant2 1018 . . . . 5
1716adantl 466 . . . 4
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12
19 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . 12
2018, 4, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
2120ex 434 . . . . . . . . . 10
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12
23 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . 12
2422, 10, 23syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
2524ex 434 . . . . . . . . . 10
2621, 25anim12d 563 . . . . . . . . 9
27 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
2827eqcoms 2469 . . . . . . . . . . 11
2928anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
30 elin 3686 . . . . . . . . . . 11
3130biimpri 206 . . . . . . . . . 10
3229, 31syl6bi 228 . . . . . . . . 9
3326, 32sylan9 657 . . . . . . . 8
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
35 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
3736rspcva 3208 . . . . . . . . . 10
3837eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
3938ex 434 . . . . . . . 8
4033, 39syl6 33 . . . . . . 7
4140com23 78 . . . . . 6
42413impia 1193 . . . . 5
4342impcom 430 . . . 4
4413, 17, 433eqtrrd 2503 . . 3
457, 44eqtrd 2498 . 2
4645ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  fvcosymgeq  16454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator