Theorem fveqdmss 6026

Description: If the empty set is not contained in the range of a function, and the function values of another class (not necessarily a function) are equal to the function values of the function for all elements of the domain of the function, then the domain of the function is contained in the domain of the class. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fveqdmss.1

Assertion

Ref	Expression
fveqdmss

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fveqdmss

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
2		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
3	1, 2	eqeq12d 2479	. . . . . . . 8
4	3	rspcva 3208	. . . . . . 7
5		nelrnfvne 6025	. . . . . . . . . . . . 13
6		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . 14
7		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8	7	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9		elfvdm 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
10	8, 9	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	exlimiv 1722	. . . . . . . . . . . . . 14
13	6, 12	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13
14	5, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
15	14	3exp 1195	. . . . . . . . . . 11
16	15	com12 31	. . . . . . . . . 10
17		fveqdmss.1	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	eleq2s 2565	. . . . . . . . 9
19	18	com24 87	. . . . . . . 8
20	19	adantr 465	. . . . . . 7
21	4, 20	mpd 15	. . . . . 6
22	21	ex 434	. . . . 5
23	22	com23 78	. . . 4
24	23	com14 88	. . 3
25	24	3imp 1190	. 2
26	25	ssrdv 3509	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807  C_wss 3475  c0 3784  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  fveqressseq  6027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601