Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fveqressseq Unicode version

Theorem fveqressseq 6027
 Description: If the empty set is not contained in the range of a function, and the function values of another class (not necessarily a function) are equal to the function values of the function for all elements of the domain of the function, then the class restricted to the domain of the function is the function itself. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqdmss.1
Assertion
Ref Expression
fveqressseq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fveqressseq
StepHypRef Expression
1 dmres 5299 . . 3
2 fveqdmss.1 . . . . 5
32fveqdmss 6026 . . . 4
4 incom 3690 . . . . . 6
5 dfss1 3702 . . . . . . 7
65biimpi 194 . . . . . 6
74, 6syl5eq 2510 . . . . 5
87, 2syl6eq 2514 . . . 4
93, 8syl 16 . . 3
101, 9syl5eq 2510 . 2
11 fvres 5885 . . . . . . . . 9
1211adantl 466 . . . . . . . 8
1312adantr 465 . . . . . . 7
14 simpr 461 . . . . . . 7
1513, 14eqtrd 2498 . . . . . 6
1615ex 434 . . . . 5
1716ralimdva 2865 . . . 4
18173impia 1193 . . 3
193, 7syl 16 . . . . 5
201, 19syl5eq 2510 . . . 4
2120raleqdv 3060 . . 3
2218, 21mpbird 232 . 2
23 simpll 753 . . . . . . . 8
242eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
2524biimpi 194 . . . . . . . . 9
2625adantl 466 . . . . . . . 8
27 simpr 461 . . . . . . . . 9
2827adantr 465 . . . . . . . 8
29 nelrnfvne 6025 . . . . . . . 8
3023, 26, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7
31 neeq1 2738 . . . . . . 7
3230, 31syl5ibrcom 222 . . . . . 6
3332ralimdva 2865 . . . . 5
34333impia 1193 . . . 4
35 fvn0ssdmfun 6022 . . . . 5
3635simprd 463 . . . 4
3734, 36syl 16 . . 3
38 simp1 996 . . 3
39 eqfunfv 5986 . . 3
4037, 38, 39syl2anc 661 . 2
4110, 22, 40mpbir2and 922 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e/wnel 2653  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  Funwfun 5587  cfv 5593 This theorem is referenced by:  plusfreseq  32460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
 Copyright terms: Public domain W3C validator