Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmpt2curryd Unicode version

Theorem fvmpt2curryd 7019
 Description: The value of the value of a curried operation given in maps-to notation is the operation value of the original operation. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmpt2curryd.f
fvmpt2curryd.c
fvmpt2curryd.y
fvmpt2curryd.a
fvmpt2curryd.b
Assertion
Ref Expression
fvmpt2curryd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fvmpt2curryd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvmpt2curryd.b . . 3
2 csbcom 3837 . . . . 5
3 csbco 3444 . . . . . 6
43csbeq2i 3836 . . . . 5
5 csbcom 3837 . . . . . 6
6 csbco 3444 . . . . . . 7
76csbeq2i 3836 . . . . . 6
85, 7eqtri 2486 . . . . 5
92, 4, 83eqtri 2490 . . . 4
10 fvmpt2curryd.a . . . . 5
11 fvmpt2curryd.c . . . . 5
12 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
1312nfel1 2635 . . . . . . 7
14 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
1514nfel1 2635 . . . . . . 7
16 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2526 . . . . . . 7
18 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
1918eleq1d 2526 . . . . . . 7
2013, 15, 17, 19rspc2 3218 . . . . . 6
2120imp 429 . . . . 5
2210, 1, 11, 21syl21anc 1227 . . . 4
239, 22syl5eqel 2549 . . 3
24 eqid 2457 . . . 4
2524fvmpts 5958 . . 3
261, 23, 25syl2anc 661 . 2
27 fvmpt2curryd.f . . . . 5
28 nfcv 2619 . . . . . 6
29 nfcv 2619 . . . . . 6
30 nfcv 2619 . . . . . . 7
31 nfcsb1v 3450 . . . . . . 7
3230, 31nfcsb 3452 . . . . . 6
33 nfcsb1v 3450 . . . . . 6
34 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
35 csbeq1a 3443 . . . . . . 7
3634, 35sylan9eq 2518 . . . . . 6
3728, 29, 32, 33, 36cbvmpt2 6376 . . . . 5
3827, 37eqtri 2486 . . . 4
3931nfel1 2635 . . . . . . 7
4033nfel1 2635 . . . . . . 7
4134eleq1d 2526 . . . . . . 7
4235eleq1d 2526 . . . . . . 7
4339, 40, 41, 42rspc2 3218 . . . . . 6
4411, 43mpan9 469 . . . . 5
4544ralrimivva 2878 . . . 4
46 ne0i 3790 . . . . 5
471, 46syl 16 . . . 4
48 fvmpt2curryd.y . . . 4
4938, 45, 47, 48, 10mpt2curryvald 7018 . . 3
5049fveq1d 5873 . 2
5127a1i 11 . . 3
52 csbco 3444 . . . . . . . 8
53 csbid 3442 . . . . . . . 8
5452, 53eqtr2i 2487 . . . . . . 7
5554a1i 11 . . . . . 6
5655csbeq2dv 3835 . . . . 5
57 csbco 3444 . . . . . 6
58 csbid 3442 . . . . . 6
5957, 58eqtri 2486 . . . . 5
60 csbcom 3837 . . . . 5
6156, 59, 603eqtr3g 2521 . . . 4
62 csbeq1 3437 . . . . . . 7
6362adantr 465 . . . . . 6
6463csbeq2dv 3835 . . . . 5
65 csbeq1 3437 . . . . . 6
6665adantl 466 . . . . 5
6764, 66eqtrd 2498 . . . 4
6861, 67sylan9eq 2518 . . 3
69 eqidd 2458 . . 3
70 nfv 1707 . . 3
71 nfv 1707 . . 3
72 nfcv 2619 . . 3
73 nfcv 2619 . . 3
74 nfcv 2619 . . . . 5
7574, 32nfcsb 3452 . . . 4
7673, 75nfcsb 3452 . . 3
779, 14nfcxfr 2617 . . 3
7851, 68, 69, 10, 1, 23, 70, 71, 72, 73, 76, 77ovmpt2dxf 6428 . 2
7926, 50, 783eqtr4d 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  [_csb 3434   c0 3784  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  curry`ccur 7013 This theorem is referenced by:  pmatcollpw3lem  19284 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-cur 7015
 Copyright terms: Public domain W3C validator