Theorem fvmpt2curryd 7019

Description: The value of the value of a curried operation given in maps-to notation is the operation value of the original operation. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2curryd.f
fvmpt2curryd.c
fvmpt2curryd.y
fvmpt2curryd.a
fvmpt2curryd.b

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2curryd

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fvmpt2curryd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2curryd.b	. . 3
2		csbcom 3837	. . . . 5
3		csbco 3444	. . . . . 6
4	3	csbeq2i 3836	. . . . 5
5		csbcom 3837	. . . . . 6
6		csbco 3444	. . . . . . 7
7	6	csbeq2i 3836	. . . . . 6
8	5, 7	eqtri 2486	. . . . 5
9	2, 4, 8	3eqtri 2490	. . . 4
10		fvmpt2curryd.a	. . . . 5
11		fvmpt2curryd.c	. . . . 5
12		nfcsb1v 3450	. . . . . . . 8
13	12	nfel1 2635	. . . . . . 7
14		nfcsb1v 3450	. . . . . . . 8
15	14	nfel1 2635	. . . . . . 7
16		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
17	16	eleq1d 2526	. . . . . . 7
18		csbeq1a 3443	. . . . . . . 8
19	18	eleq1d 2526	. . . . . . 7
20	13, 15, 17, 19	rspc2 3218	. . . . . 6
21	20	imp 429	. . . . 5
22	10, 1, 11, 21	syl21anc 1227	. . . 4
23	9, 22	syl5eqel 2549	. . 3
24		eqid 2457	. . . 4
25	24	fvmpts 5958	. . 3
26	1, 23, 25	syl2anc 661	. 2
27		fvmpt2curryd.f	. . . . 5
28		nfcv 2619	. . . . . 6
29		nfcv 2619	. . . . . 6
30		nfcv 2619	. . . . . . 7
31		nfcsb1v 3450	. . . . . . 7
32	30, 31	nfcsb 3452	. . . . . 6
33		nfcsb1v 3450	. . . . . 6
34		csbeq1a 3443	. . . . . . 7
35		csbeq1a 3443	. . . . . . 7
36	34, 35	sylan9eq 2518	. . . . . 6
37	28, 29, 32, 33, 36	cbvmpt2 6376	. . . . 5
38	27, 37	eqtri 2486	. . . 4
39	31	nfel1 2635	. . . . . . 7
40	33	nfel1 2635	. . . . . . 7
41	34	eleq1d 2526	. . . . . . 7
42	35	eleq1d 2526	. . . . . . 7
43	39, 40, 41, 42	rspc2 3218	. . . . . 6
44	11, 43	mpan9 469	. . . . 5
45	44	ralrimivva 2878	. . . 4
46		ne0i 3790	. . . . 5
47	1, 46	syl 16	. . . 4
48		fvmpt2curryd.y	. . . 4
49	38, 45, 47, 48, 10	mpt2curryvald 7018	. . 3
50	49	fveq1d 5873	. 2
51	27	a1i 11	. . 3
52		csbco 3444	. . . . . . . 8
53		csbid 3442	. . . . . . . 8
54	52, 53	eqtr2i 2487	. . . . . . 7
55	54	a1i 11	. . . . . 6
56	55	csbeq2dv 3835	. . . . 5
57		csbco 3444	. . . . . 6
58		csbid 3442	. . . . . 6
59	57, 58	eqtri 2486	. . . . 5
60		csbcom 3837	. . . . 5
61	56, 59, 60	3eqtr3g 2521	. . . 4
62		csbeq1 3437	. . . . . . 7
63	62	adantr 465	. . . . . 6
64	63	csbeq2dv 3835	. . . . 5
65		csbeq1 3437	. . . . . 6
66	65	adantl 466	. . . . 5
67	64, 66	eqtrd 2498	. . . 4
68	61, 67	sylan9eq 2518	. . 3
69		eqidd 2458	. . 3
70		nfv 1707	. . 3
71		nfv 1707	. . 3
72		nfcv 2619	. . 3
73		nfcv 2619	. . 3
74		nfcv 2619	. . . . 5
75	74, 32	nfcsb 3452	. . . 4
76	73, 75	nfcsb 3452	. . 3
77	9, 14	nfcxfr 2617	. . 3
78	51, 68, 69, 10, 1, 23, 70, 71, 72, 73, 76, 77	ovmpt2dxf 6428	. 2
79	26, 50, 78	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  [_csb 3434  c0 3784  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  curryccur 7013

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3lem  19284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-cur 7015